Encontre as curvas de nível Sc(f), c in R, da seguinte função 4 f(x, y)-x+2 y^2=0. (Resposta: parábolas x=2 y^2+4 c com concavidade para a direita (eixo x positivo))

Passo 1

Temos a função definida implicitamente por 4f(x,y)-x+2y^2=0. O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis. Nosso objetivo é obter a equação de Sc(f), o nível c, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

Por definição, as curvas de nível são
Sc(f)=(x,y)in R^2mid f(x,y)=c
Para encontrá-las, primeiro isolamos f(x,y) na expressão dada.

Passo 3

Da equação original temos
4f(x,y)-x+2y^2=0
que leva a
f(x,y)=x-2y^24
Agora impomos f(x,y)=c e obtemos
x-2y^24=c
Multiplicando ambos os lados por 4, vem
x-2y^2=4c
e finalmente
x=2y^2+4c

Passo 4

Geometricamente, para cada valor de c isso representa uma parábola com eixo paralelo ao x e concavidade voltada para a direita, cujo vértice está em (4c,0).

Resposta

As curvas de nível são as parábolas dadas por x=2y^2+4c com concavidade para a direita (eixo x positivo).

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