Encontre as equações dos planos tangentes à superfície
x^2+2 y^2+3 z^2-21=0
que são paralelos ao plano x+4 y+6 z=-33. (Resposta: (x-1)+4(y-2)+ 6(z-2)=0 e(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0)

Passo 1

Estamos buscando os planos tangentes à superfície dada por x^2+2y^2+3z^2-21=0 que sejam paralelos ao plano x+4y+6z=-33. Para isso vamos usar gradiente para obter o plano tangente e impor condição de paralelismo entre normais.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21. O vetor normal ao plano tangente em (x0,y0,z0) é dado pelo gradiente nabla F(x0,y0,z0)=(2x0,4y0,6z0).
Para que esse plano seja paralelo ao dado, seu normal (2x0,4y0,6z0) deve ser paralelo a (1,4,6). Logo existe lambda tal que
(2x0,4y0,6z0)=lambda,(1,4,6)

Passo 3

Dessa igualdade tiramos as coordenadas em função de lambda: x0=lambda2,;y0=lambda,;z0=lambda. Substituindo na equação da superfície:
l(lambda2r)^2+2lambda^2+3lambda^2=21,
simplificando temos tfraclambda^24+5lambda^2=21, isto é 21lambda^2=84 e lambda=pm2. Assim os pontos são (1,2,2) e (-1,-2,-2).

Passo 4

O plano tangente em (x0,y0,z0) tem equação
(x-x0)+4(y-y0)+6(z-z0)=0
Substituindo (1,2,2) e (-1,-2,-2), obtemos respectivamente
(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0,
(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0

Resposta

(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0 e (x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0

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