Calcule:
  • lim x 1^+ x^3-1x^2-2 x+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita da função $ \frac{x{3}-1}{x{2}-2x+1} $. Vamos usar conceitos de álgebra e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador $ x^{2} - 2x + 1 $. Perceba que ele pode ser fatorado. A fatoração nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Fatorando o denominador:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, nossa expressão fica:
x^3 - 1(x - 1)^2

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador $ x^{3} - 1 $. Isso também pode ser fatorado usando a fórmula da diferença de cubos:
x^3 - 1
Substituindo na nossa expressão:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 5

Podemos simplificar cancelando um $ (x - 1) $ do numerador com um do denominador:
(x - 1)
Agora, a expressão está mais simples para calcular o limite.

Passo 6

Vamos substituir $ x $ por 1 na expressão simplificada:
x
Isso indica que estamos lidando com uma divisão por zero, o que sugere que o limite tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $.

Passo 7

Como estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \rightarrow 1^{+} $), o denominador $ x - 1 $ é um número muito pequeno positivo. Então, a fração $ \frac{3}{x - 1} $ tende para $ +\infty $.

Resposta

O limite é $ +\infty $.

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