Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as curvas de nível da função
.\n
Informações fornecidas e condições importantes: \n
Informações fornecidas e condições importantes: \n
- A função está definida apenas onde
(porque só recebe argumentos positivos).\n - A tarefa típica “curvas de nível” significa: para cada valor real fixo
, achar o conjunto de pontos tais que . Ou seja, resolver para .
Passo 2
Definimos um nível arbitrário e fixo
e escrevemos a equação do nível:
Aqui
representa o valor constante da função ao longo de uma curva de nível.
Passo 3
Usamos a propriedade básica dos logaritmos naturais:
é equivalente a
. Aplicando isso à equação do passo anterior obtemos:
Explanação didática: a exponenciação “cancela” o
. O lado direito
é sempre positivo, o que garante compatibilidade com o domínio.
Passo 4
Isolamos
para escrever a curva na forma usual de reta:
Passo a passo da álgebra: partimos de
e subtraímos
de ambos os lados.
Passo 5
Interpretação geométrica e comentários práticos (para usar na prova):\n
- Para cada
fixo a curva de nível é uma reta de inclinação (slope ). Aqui “inclinação” significa que se aumenta de , diminui de .\n - O intercepto em
é . Como para todo , todas as retas têm intercepto positivo; elas são paralelas entre si e nunca chegam a coincidir com a reta (essa última corresponderia ao limite quando ).\n - Reescrevendo a equação como
fica claro que o vetor normal a cada reta é . Isso coincide com a direção do gradiente , que é
ou seja, o gradiente aponta sempre na direção
e é ortogonal às curvas de nível — um fato útil para perguntas relacionadas a máximos, mínimos e direções de maior crescimento.
Passo 6
Parâmetro e exemplos concretos para fixar a ideia:\n
- Parametrização simples da curva de nível para um
fixo: escolha livre, então
o que descreve a reta inteira como
varia em
.\n
- Exemplos numéricos: se
então . Se então . Essas são duas retas da família ( interceptadas em e , respectivamente).