Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (3 x+y)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as curvas de nível da função f(x,y)=\ln(3x+y).\n
Informações fornecidas e condições importantes: \n
  • A função está definida apenas onde 3x+y>0 (porque \ln só recebe argumentos positivos).\n
  • A tarefa típica “curvas de nível” significa: para cada valor real fixo c, achar o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Ou seja, resolver \ln(3x+y)=c para (x,y).

Passo 2

Definimos um nível arbitrário e fixo c\in\mathbb{R} e escrevemos a equação do nível:
\ln(3x+y)=c.
Aqui c representa o valor constante da função ao longo de uma curva de nível.

Passo 3

Usamos a propriedade básica dos logaritmos naturais: \ln(A)=B é equivalente a A=e^{B}. Aplicando isso à equação do passo anterior obtemos:
3x+y = e^{c}.
Explanação didática: a exponenciação “cancela” o \ln. O lado direito e^{c} é sempre positivo, o que garante compatibilidade com o domínio.

Passo 4

Isolamos y para escrever a curva na forma usual de reta:
y = e^{c} - 3x.
Passo a passo da álgebra: partimos de 3x+y=e^{c} e subtraímos 3x de ambos os lados.

Passo 5

Interpretação geométrica e comentários práticos (para usar na prova):\n
  • Para cada c fixo a curva de nível é uma reta de inclinação -3 (slope -3). Aqui “inclinação” significa que se x aumenta de 1, y diminui de 3.\n
  • O intercepto em y é e^{c}. Como e^{c}>0 para todo c\in\mathbb{R}, todas as retas têm intercepto positivo; elas são paralelas entre si e nunca chegam a coincidir com a reta 3x+y=0 (essa última corresponderia ao limite quando c\to -\infty).\n
  • Reescrevendo a equação como 3x+y=e^{c} fica claro que o vetor normal a cada reta é (3,1). Isso coincide com a direção do gradiente \nabla f, que é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{3}{3x+y},\frac{1}{3x+y}\right)=\frac{1}{3x+y}(3,1),
ou seja, o gradiente aponta sempre na direção (3,1) e é ortogonal às curvas de nível — um fato útil para perguntas relacionadas a máximos, mínimos e direções de maior crescimento.

Passo 6

Parâmetro e exemplos concretos para fixar a ideia:\n
  • Parametrização simples da curva de nível para um c fixo: escolha x=t livre, então
y(t)=e^{c}-3t,
o que descreve a reta inteira como t varia em \mathbb{R}.\n
  • Exemplos numéricos: se c=0 então y=1-3x. Se c=\ln 2 então y=2-3x. Essas são duas retas da família ( y interceptadas em 1 e 2, respectivamente).

Resposta

y = e^{c} - 3x,\; c\in\mathbb{R}

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