Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as curvas de nível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Precisamos descrever o conjunto de pontos
onde toma um valor constante (cada curva de nível corresponde a um valor fixo).
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
- Para uma função de duas variáveis
, uma curva de nível associada a um valor constante é o conjunto de pontos que satisfazem a equação
- Geometricamente, isso significa “tudo que tem o mesmo valor
” — no plano é uma curva (ou conjunto de curvas) onde a função mantém esse valor. - Método prático: substituímos
por e resolvemos a equação para relacionar e . Essa relação é a equação da curva de nível.
Passo 3
Aplicando a definição à função dada: escrevemos a equação da curva de nível para um valor arbitrário
:
Agora vamos isolar
para ver a forma explícita da curva:
Expliquei cada passo: começamos com
. Subtraímos
dos dois lados e somamos
aos dois lados, ficando
.
Passo 4
Interpretação da equação obtida (explicação geométrica e intuitiva):
- Para cada escolha de
fixo, a equação é a equação de uma reta no plano . Portanto as curvas de nível são retas. - Todas essas retas têm a mesma inclinação (coeficiente angular)
, ou seja, são paralelas entre si, apenas deslocadas verticalmente conforme o valor de . - A família está parametrizada por
: cada dá uma reta diferente.
Passo 5
Exemplos concretos (para visualizar):
- Se
, então
- Se
, então
- Se
, então
Esses exemplos mostram retas paralelas com mesma inclinação
e interceptos diferentes.
Passo 6
Interpretação com o gradiente (um pouco de teoria útil para provas):
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
- Propriedade importante: o gradiente é sempre perpendicular (normal) às curvas de nível. Aqui isso significa que
é normal a cada reta da família. - A direção tangente às retas é um vetor
(porque o coeficiente angular é , então um vetor diretor é ). Verificação do produto escalar:
confirmando que são perpendiculares.
Passo 7
Distância entre duas curvas de nível (fórmula prática que ajuda em interpretações):
- Para dois níveis
e as retas são e . A distância mínima entre essas duas retas é
onde
é a norma do gradiente.
- Aqui
. Logo a distância entre níveis com diferença é . - Isso mostra quantitativamente como os valores
deslocam as retas no plano.
Passo 8
Resumo didático final (como aplicar isso rápido na prova):
- Para achar curvas de nível, basta substituir
e isolar (ou ). Para funções lineares como esta, o resultado será uma família de retas paralelas; escreva a equação geral . - Se pedirem visualização, desenhe algumas retas para diferentes
(por exemplo ) e marque que todas têm inclinação . - Se pedirem distância entre curvas, use a fórmula
.