Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
f(x, y)=6-2 x+y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=6-2x+y e pede para encontrar as curvas de nível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=6-2x+y.
  • Precisamos descrever o conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y) toma um valor constante (cada curva de nível corresponde a um valor fixo).

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), uma curva de nível associada a um valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a equação
f(x,y)=c.
  • Geometricamente, isso significa “tudo que tem o mesmo valor c” — no plano xy é uma curva (ou conjunto de curvas) onde a função mantém esse valor.
  • Método prático: substituímos f(x,y) por c e resolvemos a equação para relacionar x e y. Essa relação é a equação da curva de nível.

Passo 3

Aplicando a definição à função dada: escrevemos a equação da curva de nível para um valor arbitrário c:
6-2x+y=c.
Agora vamos isolar y para ver a forma explícita da curva:
y = c - 6 + 2x.
Expliquei cada passo: começamos com 6-2x+y=c. Subtraímos 6 dos dois lados e somamos 2x aos dois lados, ficando y = c-6+2x.

Passo 4

Interpretação da equação obtida (explicação geométrica e intuitiva):
  • Para cada escolha de c fixo, a equação y = 2x + (c-6) é a equação de uma reta no plano xy. Portanto as curvas de nível são retas.
  • Todas essas retas têm a mesma inclinação (coeficiente angular) 2, ou seja, são paralelas entre si, apenas deslocadas verticalmente conforme o valor de c.
  • A família está parametrizada por c\in\mathbb{R}: cada c dá uma reta diferente.

Passo 5

Exemplos concretos (para visualizar):
  • Se c=6, então
y = 2x + (6-6) = 2x.
  • Se c=0, então
y = 2x + (0-6) = 2x-6.
  • Se c=8, então
y = 2x + (8-6) = 2x+2.
Esses exemplos mostram retas paralelas com mesma inclinação 2 e interceptos diferentes.

Passo 6

Interpretação com o gradiente (um pouco de teoria útil para provas):
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(-2,\,1).
  • Propriedade importante: o gradiente é sempre perpendicular (normal) às curvas de nível. Aqui isso significa que ( -2,1) é normal a cada reta da família.
  • A direção tangente às retas é um vetor (1,2) (porque o coeficiente angular é 2, então um vetor diretor é (1,2)). Verificação do produto escalar:
(-2,1)\cdot(1,2) = -2\cdot1 + 1\cdot2 = 0,
confirmando que são perpendiculares.

Passo 7

Distância entre duas curvas de nível (fórmula prática que ajuda em interpretações):
  • Para dois níveis c_1 e c_2 as retas são f(x,y)=c_1 e f(x,y)=c_2. A distância mínima entre essas duas retas é
\frac{|c_2-c_1|}{\|\nabla f\|},
onde \|\nabla f\| é a norma do gradiente.
  • Aqui \|\nabla f\|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}. Logo a distância entre níveis com diferença \Delta c é \dfrac{|\Delta c|}{\sqrt{5}}.
  • Isso mostra quantitativamente como os valores c deslocam as retas no plano.

Passo 8

Resumo didático final (como aplicar isso rápido na prova):
  • Para achar curvas de nível, basta substituir f(x,y)=c e isolar y (ou x). Para funções lineares como esta, o resultado será uma família de retas paralelas; escreva a equação geral y=2x+(c-6).
  • Se pedirem visualização, desenhe algumas retas para diferentes c (por exemplo c=0,6,8) e marque que todas têm inclinação 2.
  • Se pedirem distância entre curvas, use a fórmula |\Delta c|/\sqrt{5}.

Resposta

y=2x+(c-6),\quad c\in\mathbb{R}

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