Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: Encontrar as curvas de nível da função
.
Informações dadas:
- A função é
, isto é, . - As variáveis
e são reais (domínio típico ). - O que o enunciado pede: para cada valor constante
(um nível de altura), encontrar o conjunto de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem . Esses conjuntos são as curvas de nível.
Passo 2
O que significa “curva de nível” — conceito explícito e simples:
- Dada uma função de duas variáveis
, a curva de nível correspondente ao número real é o conjunto
- Aqui
é um número fixo (pense em “altura” constante). Cada dá uma curva (ou conjunto) no plano .
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função:
- Tomamos um nível genérico
e escrevemos a equação da curva de nível:
- Agora resolvemos essa equação para
. A solução real é dada pela raiz cúbica:
- Observação didática: a raiz cúbica de um número real é sempre um número real e é única (por exemplo,
e ).
Passo 4
Interpretando a solução no plano
:
- A equação
não impõe nenhuma restrição sobre . Isso significa que, para um nível fixo, todos os pontos com abscissa são aceitáveis, qualquer que seja a ordenada . - Geometricamente, isso é uma reta vertical paralela ao eixo
localizada na abscissa . - Exemplo concreto: para
a curva de nível é a reta ; para é a reta ; para é a reta .
Passo 5
Forma paramétrica e descrição final para usar na prova:
- Para cada
, a curva de nível pode ser escrita parametricamente como
- Dica prática para a prova: ao ver uma função que não depende de
, já espere que as curvas de nível sejam retas verticais (uma para cada valor de compatível).
Resposta
Para cada
a curva de nível
é a reta vertical