Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
z=x^{3}

Passo 1

Enunciado: Encontrar as curvas de nível da função z = x^{3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}, isto é, z=f(x,y)=x^{3}.
  • As variáveis x e y são reais (domínio típico \mathbb{R}^{2}).
  • O que o enunciado pede: para cada valor constante k (um nível de altura), encontrar o conjunto de pontos (x,y) no plano cujas coordenadas satisfazem f(x,y)=k. Esses conjuntos são as curvas de nível.

Passo 2

O que significa “curva de nível” — conceito explícito e simples:
  • Dada uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível correspondente ao número real k é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid f(x,y)=k\}.
  • Aqui k é um número fixo (pense em “altura” constante). Cada k dá uma curva (ou conjunto) no plano xy.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função:
  • Tomamos um nível genérico k\in\mathbb{R} e escrevemos a equação da curva de nível:
x^{3}=k.
  • Agora resolvemos essa equação para x. A solução real é dada pela raiz cúbica:
x=\sqrt[3]{k}.
  • Observação didática: a raiz cúbica de um número real é sempre um número real e é única (por exemplo, \sqrt[3]{8}=2 e \sqrt[3]{-8}=-2).

Passo 4

Interpretando a solução no plano (x,y):
  • A equação x=\sqrt[3]{k} não impõe nenhuma restrição sobre y. Isso significa que, para um nível k fixo, todos os pontos com abscissa x=\sqrt[3]{k} são aceitáveis, qualquer que seja a ordenada y.
  • Geometricamente, isso é uma reta vertical paralela ao eixo y localizada na abscissa x=\sqrt[3]{k}.
  • Exemplo concreto: para k=0 a curva de nível é a reta x=0; para k=1 é a reta x=1; para k=-8 é a reta x=-2.

Passo 5

Forma paramétrica e descrição final para usar na prova:
  • Para cada k\in\mathbb{R}, a curva de nível pode ser escrita parametricamente como
\{(\sqrt[3]{k},y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
  • Dica prática para a prova: ao ver uma função que não depende de y, já espere que as curvas de nível sejam retas verticais (uma para cada valor de x compatível).

Resposta

Para cada k\in\mathbb{R} a curva de nível f(x,y)=k é a reta vertical
x=\sqrt[3]{k},\quad y\in\mathbb{R}.

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