Questão 5) Encontre os máx, min e pontos de selas das funções abaixo:
f(x, y)=3 x^{4}+6 y^{4}-8 x y+2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{4}+6y^{4}-8xy+2
e pede que eu encontre os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos e pontos de sela).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função é polinomial em x e y.
  • Precisamos achar todos os pontos (x,y) onde o gradiente é nulo e então classificar cada ponto (máximo local, mínimo local ou sela).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais (o gradiente). Lembre-se: derivada parcial é a derivada da função em relação a uma variável tratando a outra como constante.
Calculo de \partial f/\partial x e \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial x}=12x^{3}-8y
\frac{\partial f}{\partial y}=24y^{3}-8x

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem o sistema \nabla f=(0,0)\). Então resolvemos: \[\begin{cases} 12x^{3}-8y=0,\\[4pt] 24y^{3}-8x=0. \end{cases}
Vou simplificar cada equação isolando y\] e \(x:
12x^{3}-8y=0 \implies y=\frac{12}{8}x^{3}=\frac{3}{2}x^{3},
24y^{3}-8x=0 \implies x=\frac{24}{8}y^{3}=3y^{3}.]

Passo 4

Substituo y=\tfrac{3}{2}x^{3} na segunda equação x=3y^{3}. Primeiro expresso y^{3} em função de x:
y^{3}=\Big(\frac{3}{2}x^{3}\Big)^{3}=\frac{27}{8}x^{9}.
Agora
x=3y^{3}=3\cdot\frac{27}{8}x^{9}=\frac{81}{8}x^{9}.
Reescrevo como
x\Big(\frac{81}{8}x^{8}-1\Big)=0.
Portanto as soluções são
x=0 \quad\text{ou}\quad x^{8}=\frac{8}{81}.

Passo 5

Das equações anteriores temos as soluções reais para x:
x=0\quad\text{ou}\quad x=\pm\Big(\frac{8}{81}\Big)^{1/8}.
Vou simplificar \Big(\frac{8}{81}\Big)^{1/8}: como 8=2^{3} e 81=3^{4},
\Big(\frac{8}{81}\Big)^{1/8}=\frac{2^{3/8}}{3^{1/2}}.
Agora obtenho os correspondentes y usando y=\tfrac{3}{2}x^{3}. Para x=0 vem y=0. Para x=\pm\frac{2^{3/8}}{3^{1/2}}:
x^{3}=\pm\frac{2^{9/8}}{3^{3/2}}\quad\implies\quad y=\frac{3}{2}x^{3}=\pm\frac{2^{1/8}}{3^{1/2}}.
Portanto os pontos críticos são:
(0,0),\qquad \Big(\frac{2^{3/8}}{3^{1/2}},\frac{2^{1/8}}{3^{1/2}}\Big),\qquad \Big(-\frac{2^{3/8}}{3^{1/2}},-\frac{2^{1/8}}{3^{1/2}}\Big).

Passo 6

Agora vou classificar cada ponto crítico. Para isso uso a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas (teste de Sylvester para 2\times2). Lembre-se:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais;
  • Para um ponto crítico (x_0,y_0) denotamos D_1=f_{xx}(x_0,y_0) e D=\det H(x_0,y_0).
  • Se D>0 e D_1>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e D_1<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.

Passo 7

Calculo as segundas derivadas:
f_{xx}=36x^{2},\qquad f_{yy}=72y^{2},\qquad f_{xy}=f_{yx}=-8.
Assim a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}36x^{2} & -8\\[4pt]-8 & 72y^{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Avalio a Hessiana em (0,0):
H(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -8\\[4pt]-8 & 0\end{pmatrix}.
O determinante é \det H(0,0)=0\cdot0-(-8)^{2}=-64<0. Pelo teste, (0,0) é um ponto de sela. (Intuição: autovalores de uma matriz com determinante negativo têm sinais opostos.)]

Passo 9

Agora avalio a Hessiana nos pontos \Big(\pm\frac{2^{3/8}}{3^{1/2}},\pm\frac{2^{1/8}}{3^{1/2}}\Big). Primeiro observo que para esses pontos x\neq0 e y\neq0, então f_{xx}=36x^{2}>0. Vou calcular o determinante em termos de x e y:
\det H=36x^{2}\cdot72y^{2}-(-8)^{2}=2592x^{2}y^{2}-64.
Para simplificar uso a relação entre x e y em pontos críticos: y=\tfrac{3}{2}x^{3}. Então
x^{2}y^{2}=x^{2}\Big(\frac{3}{2}x^{3}\Big)^{2}=\frac{9}{4}x^{8}.
Mas em pontos críticos temos x^{8}=\frac{8}{81}. Logo
x^{2}y^{2}=\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{81}=\frac{2}{9}.
Substituindo em \det H:
\det H=2592\cdot\frac{2}{9}-64=576-64=512>0.
Como \det H>0 e f_{xx}=36x^{2}>0, a Hessiana é definida positiva nesses pontos e, portanto, cada um deles é um mínimo local.

Passo 10

Verifico agora se há máximos locais. Encontramos todos os pontos críticos (Passo 5) e os classificamos: um ponto de sela e dois mínimos locais. Não restaram outros pontos críticos, logo não existem máximos locais.

Passo 11

Cálculo do valor de f nos mínimos (é útil para a resposta final). Uso y=\tfrac{3}{2}x^{3} e x^{8}=\tfrac{8}{81}. Começo substituindo na expressão de f:
f=3x^{4}+6y^{4}-8xy+2.
Mas y^{4}=\big(\tfrac{3}{2}x^{3}\big)^{4}=\tfrac{81}{16}x^{12} e -8xy=-8x\cdot\frac{3}{2}x^{3}=-12x^{4}. Então
f=(3-12)x^{4}+6\cdot\frac{81}{16}x^{12}+2=-9x^{4}+\frac{486}{16}x^{12}+2.
Observe que x^{12}=x^{8}x^{4}=\frac{8}{81}x^{4}. Portanto
f=-9x^{4}+\frac{486}{16}\cdot\frac{8}{81}x^{4}+2=-9x^{4}+3x^{4}+2=-6x^{4}+2.
Como x^{4}=(x^{8})^{1/2}=\big(\tfrac{8}{81}\big)^{1/2}=\frac{2^{3/2}}{9}, obtemos
f_{\min}=2-6\cdot\Big(\frac{8}{81}\Big)^{1/2}=2-\frac{6\cdot 2^{3/2}}{9}=2-\frac{2^{5/2}}{3}.
Outra forma mais explícita é
f_{\min}=2-\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}1144\ldots
Esse valor é o mesmo para os dois mínimos (simetria de sinal).

Resposta

(0,0) é ponto de sela.
\Big(\dfrac{2^{3/8}}{3^{1/2}},\dfrac{2^{1/8}}{3^{1/2}}\Big) é mínimo local com valor 2-\dfrac{2^{5/2}}{3}.
\Big(-\dfrac{2^{3/8}}{3^{1/2}},-\dfrac{2^{1/8}}{3^{1/2}}\Big) é mínimo local com valor 2-\dfrac{2^{5/2}}{3}.

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