Questão 5) Encontre os máx, min e pontos de selas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos e pontos de sela).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função é polinomial em
e . - Precisamos achar todos os pontos
onde o gradiente é nulo e então classificar cada ponto (máximo local, mínimo local ou sela).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais (o gradiente). Lembre-se: derivada parcial é a derivada da função em relação a uma variável tratando a outra como constante.
Calculo de e
:
Calculo de
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Vou simplificar cada equação isolando
:
Passo 4
Substituo
na segunda equação
. Primeiro expresso
em função de
:
Agora
Reescrevo como
Portanto as soluções são
Passo 5
Das equações anteriores temos as soluções reais para
:
Vou simplificar
: como
e
,
Agora obtenho os correspondentes
usando
. Para
vem
. Para
:
Portanto os pontos críticos são:
Passo 6
Agora vou classificar cada ponto crítico. Para isso uso a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas (teste de Sylvester para
). Lembre-se:
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais;
- Para um ponto crítico
denotamos e . - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela.
Passo 7
Calculo as segundas derivadas:
Assim a Hessiana é
Passo 8
Avalio a Hessiana em
:
O determinante é
. Pelo teste,
é um ponto de sela. (Intuição: autovalores de uma matriz com determinante negativo têm sinais opostos.)]
Passo 9
Agora avalio a Hessiana nos pontos
. Primeiro observo que para esses pontos
e
, então
. Vou calcular o determinante em termos de
e
:
Para simplificar uso a relação entre
e
em pontos críticos:
. Então
Mas em pontos críticos temos
. Logo
Substituindo em
:
Como
e
, a Hessiana é definida positiva nesses pontos e, portanto, cada um deles é um mínimo local.
Passo 10
Verifico agora se há máximos locais. Encontramos todos os pontos críticos (Passo 5) e os classificamos: um ponto de sela e dois mínimos locais. Não restaram outros pontos críticos, logo não existem máximos locais.
Passo 11
Cálculo do valor de
nos mínimos (é útil para a resposta final). Uso
e
. Começo substituindo na expressão de
:
Mas
e
. Então
Observe que
. Portanto
Como
, obtemos
Outra forma mais explícita é
Esse valor é o mesmo para os dois mínimos (simetria de sinal).