Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as curvas de nível.\n
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
.\n - O que se quer: os conjuntos de pontos
no plano para os quais assume um valor constante (curvas de nível).\n - Não foi dada restrição adicional sobre
e , então consideramos .
Passo 2
O que são curvas de nível (uma aula rápida e amigável):\n
- Para uma função de duas variáveis
, uma curva de nível para o valor constante é o conjunto de pontos que satisfazem
- Geometricamente, cada curva de nível é a interseção da superfície
com o plano horizontal , projetada no plano .\n - Na prova: você sempre monta a equação
e resolve para obter a forma das curvas (por exemplo, retas, parábolas, círculos, etc.). Aqui vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplique a definição à função dada: coloque
e escreva a equação da curva de nível.\n
- Partimos de
- Para um nível qualquer
, impondo obtemos
- Isolando
(isso deixa a forma mais fácil de interpretar ao desenhar):
Passo 4
Interpretação geométrica das curvas obtidas (como desenhar na prova sem drama):\n
- A equação
é a equação de uma família de parábolas com concavidade para cima (porque o termo em é positivo).\n - Cada valor de
desloca verticalmente a parábola básica : a parábola correspondente tem vértice em . Para ver isso, escreva ; o vértice de está em , então subtrair desloca para baixo se e para cima se .\n - A abertura (a “largura”) das parábolas não muda com
: todas têm a mesma curvatura, apenas estão deslocadas verticalmente.\n - Forma alternativa, útil em prova: escreva a forma implícita
que mostra que essas curvas formam uma família parametrizada por
.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar (desenhe mentalmente ou no rascunho):\n
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses exemplos mostram como variar
move o vértice ao longo do eixo
.
Passo 6
Como anotar isso rapidamente na prova (receita): escolha um símbolo para o nível, por exemplo
, escreva
, resolva para
e interprete: se der
alguma expressão em
com parâmetro
, identifique a curva (aqui parábola) e o efeito do parâmetro (aqui translação vertical do vértice para
).\n
Dica prática: se pedirem várias curvas de nível desenhe algumas para bem espaçados (por exemplo
) e verá uma família de parábolas paralelas verticalmente.
Dica prática: se pedirem várias curvas de nível desenhe algumas para