Encontre as curvas de nível das seguintes funções:
z=x^{2}-y

Passo 1

O enunciado dá a função z=x^{2}-y e pede para encontrar as curvas de nível.\n
Informações importantes fornecidas:
  • A função é z=x^{2}-y.\n
  • O que se quer: os conjuntos de pontos (x,y) no plano para os quais z assume um valor constante (curvas de nível).\n
  • Não foi dada restrição adicional sobre x e y, então consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que são curvas de nível (uma aula rápida e amigável):\n
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), uma curva de nível para o valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
  • Geometricamente, cada curva de nível é a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano horizontal z=c, projetada no plano xy.\n
  • Na prova: você sempre monta a equação f(x,y)=c e resolve para obter a forma das curvas (por exemplo, retas, parábolas, círculos, etc.). Aqui vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplique a definição à função dada: coloque z=c e escreva a equação da curva de nível.\n
  • Partimos de
z = x^{2}-y.
  • Para um nível qualquer c\in\mathbb{R}, impondo z=c obtemos
c = x^{2}-y.
  • Isolando y (isso deixa a forma mais fácil de interpretar ao desenhar):
y = x^{2}-c.

Passo 4

Interpretação geométrica das curvas obtidas (como desenhar na prova sem drama):\n
  • A equação \,y = x^{2}-c\, é a equação de uma família de parábolas com concavidade para cima (porque o termo em x^{2} é positivo).\n
  • Cada valor de c desloca verticalmente a parábola básica y=x^{2}: a parábola correspondente tem vértice em (0,-c). Para ver isso, escreva y = x^{2}-c; o vértice de y=x^{2} está em (0,0), então subtrair c desloca para baixo se c>0 e para cima se c<0.\n
  • A abertura (a “largura”) das parábolas não muda com c: todas têm a mesma curvatura, apenas estão deslocadas verticalmente.\n
  • Forma alternativa, útil em prova: escreva a forma implícita
x^{2}-y-c=0,
que mostra que essas curvas formam uma família parametrizada por c.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar (desenhe mentalmente ou no rascunho):\n
  • Para c=0:
y=x^{2}\quad\text{(vértice em \((0,0)\)).}é
  • Para c=1:
y=x^{2}-1\quad\text{(vértice em \((0,-1)\), ou seja, a parábola foi deslocada 1 unidade para baixo).}éá
  • Para c=-1:
y=x^{2}+1\quad\text{(vértice em \((0,1)\), deslocada 1 unidade para cima).}é
Esses exemplos mostram como variar c move o vértice ao longo do eixo y.

Passo 6

Como anotar isso rapidamente na prova (receita): escolha um símbolo para o nível, por exemplo c, escreva c=x^{2}-y, resolva para y e interprete: se der y= alguma expressão em x com parâmetro c, identifique a curva (aqui parábola) e o efeito do parâmetro (aqui translação vertical do vértice para (0,-c)).\n
Dica prática: se pedirem várias curvas de nível desenhe algumas para c bem espaçados (por exemplo c=-2,-1,0,1,2) e verá uma família de parábolas paralelas verticalmente.

Resposta

y = x^{2} - c,\quad c\in\mathbb{R}

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