Questão 5) Encontre os máx, min e pontos de selas das funções abaixo:
h(x, y)=4 x y-4 x^{3}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x,y)=4xy-4x^{3}+2y^{2} e pede que a gente encontre os pontos críticos e os classifique — ou seja, determine onde há máximos locais, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por h(x,y)=4xy-4x^{3}+2y^{2}.
  • Precisamos achar todos os pontos críticos (onde gradiente = 0) e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem e montar o sistema \nabla h=(h_x,h_y)=(0,0).
Breve explicação do conceito que usamos aqui: a derivada parcial h_x é a taxa de variação de h quando só alteramos x e mantemos y fixo; similarmente para h_y. Pontos críticos são os pontos onde as duas derivadas parciais são zero (ou não existem), porque nesses pontos não há direção infinitesimal de aumento/descida imediatamente — são candidatos a máximo, mínimo ou sela.
Calculemos as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo as contas):
  • Derivando h em relação a x, tratando y como constante:
h_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(4xy-4x^{3}+2y^{2}\big)=4y-12x^{2}.
Explicação da conta: \frac{\partial}{\partial x}(4xy)=4y porque y é constante; \frac{\partial}{\partial x}(-4x^{3})=-12x^{2}; \frac{\partial}{\partial x}(2y^{2})=0.
  • Derivando h em relação a y, tratando x como constante:
h_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(4xy-4x^{3}+2y^{2}\big)=4x+4y.
Explicação da conta: \frac{\partial}{\partial y}(4xy)=4x; \frac{\partial}{\partial y}(-4x^{3})=0; \frac{\partial}{\partial y}(2y^{2})=4y.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema das equações h_x=0\) e \(h_y=0\): \[\begin{cases} 4y-12x^{2}=0,\\[4pt] 4x+4y=0. \end{cases}
Podemos simplificar dividindo a segunda por 4\]: \(x+y=0, ou seja y=-x. Da primeira, dividir por 4 também: y-3x^{2}=0, ou seja y=3x^{2}.
Agora igualamos as duas expressões para y:
3x^{2} = -x.
Passo algébrico: mover todos os termos para um lado:
3x^{2}+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(3x+1)=0.
Portanto as soluções para x são x=0 ou x=-\tfrac{1}{3}.
Para cada x achamos y usando y=-x:
  • Se x=0, então y=-0=0. Então um ponto crítico é (0,0).
  • Se x=-\tfrac{1}{3}, então y=-(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{1}{3}. Então outro ponto crítico é \big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big).
Concluímos que os pontos críticos são \displaystyle (0,0) e \displaystyle \big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big).]

Passo 4

Para classificar cada ponto crítico usamos as derivadas segundas e o discriminante da forma quadrática associada (teste do Hessiano para funções de duas variáveis). Vou explicar a regra antes de aplicar:
Regra do teste das derivadas segundas (Hessiano):
  • Calcule h_{xx}=\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, h_{yy}=\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} e h_{xy}=\frac{\partial^2 h}{\partial x\partial y}.
  • Defina o discriminante (determinante do Hessiano) \displaystyle D(x,y)=h_{xx}(x,y)\,h_{yy}(x,y)-\big(h_{xy}(x,y)\big)^{2}.
  • Se \displaystyle D>0 e h_{xx}>0 no ponto, então temos mínimo local.
  • Se \displaystyle D>0 e h_{xx}<0 no ponto, então temos máximo local.
  • Se \displaystyle D<0 então é ponto de sela.
  • Se \displaystyle D=0 o teste é inconclusivo.
Agora calculemos as derivadas segundas da nossa função:
  • Derivando h_x=4y-12x^{2} em relação a x:
h_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(4y-12x^{2})=-24x.
  • Derivando h_y=4x+4y em relação a y:
h_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4x+4y)=4.
  • Derivando h_x em relação a y (ou h_y em relação a x):
h_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(4y-12x^{2})=4.
(Consistência: h_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(4x+4y)=4 também.)
Formamos então o discriminante:
D(x,y)=h_{xx}\,h_{yy}-(h_{xy})^{2}=(-24x)\cdot 4 - 4^{2} = -96x - 16.

Passo 5

Avaliação do discriminante e classificação ponto a ponto.
  1. No ponto \displaystyle (0,0):
  • Calcule D(0,0):
D(0,0) = -96\cdot 0 -16 = -16.
  • Como D(0,0) = -16 < 0, pelo teste temos que (0,0) é um ponto de sela (saddle point).
    Também podemos observar que h(0,0)=0, mas esse valor não caracteriza máximo nem mínimo porque há direções de aumento e de diminuição.
  1. No ponto \displaystyle \big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big):
  • Calcule D nesse ponto usando x=-\tfrac{1}{3}:
D\Big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big) = -96\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)-16 = 32-16=16.
Logo D=16>0. Agora calcule h_{xx} nesse ponto:
h_{xx}\Big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big) = -24\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)=8>0.
Como D>0 e h_{xx}>0, o ponto é um mínimo local.
Vamos também calcular o valor da função nesse mínimo local (útil na prova e para comparação):
h\Big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=4\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)\Big(\tfrac{1}{3}\Big)-4\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)^{3}+2\Big(\tfrac{1}{3}\Big)^{2}.
Calculemos termo a termo:
4\Big(-\tfrac{1}{9}\Big) = -\tfrac{4}{9},\qquad -4\Big(-\tfrac{1}{27}\Big)=+\tfrac{4}{27},\qquad 2\Big(\tfrac{1}{9}\Big)=\tfrac{2}{9}.
Colocando tudo sobre denominador 27:
-\tfrac{12}{27}+\tfrac{4}{27}+\tfrac{6}{27} = -\tfrac{2}{27}.
Portanto h\big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big) = -\tfrac{2}{27}.

Passo 6

Comentário sobre máximos e mínimos globais (para fechar o raciocínio). É bom na prova saber se algum extremo é global. Podemos ver que a função é não limitada acima e nem limitada abaixo: tomando y=0 temos h(x,0)=-4x^{3}, que tende a +\infty quando x\to -\infty (logo sem máximo global) e tende a -\infty quando x\to +\infty (logo sem mínimo global). Assim não existem máximos nem mínimos globais, apenas o mínimo local que encontramos.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Mínimo local: \displaystyle \big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big) com valor \displaystyle h\big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big)=-\tfrac{2}{27}.
Não há máximos locais nem máximos ou mínimos globais.

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