Questão 5) Encontre os máx, min e pontos de selas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente encontre os pontos críticos e os classifique — ou seja, determine onde há máximos locais, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é
dada por . - Precisamos achar todos os pontos críticos (onde gradiente = 0) e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais de primeira ordem e montar o sistema
.
Breve explicação do conceito que usamos aqui: a derivada parcial é a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos
fixo; similarmente para
. Pontos críticos são os pontos onde as duas derivadas parciais são zero (ou não existem), porque nesses pontos não há direção infinitesimal de aumento/descida imediatamente — são candidatos a máximo, mínimo ou sela.
Breve explicação do conceito que usamos aqui: a derivada parcial
Calculemos as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo as contas):
- Derivando
em relação a , tratando como constante:
Explicação da conta:
porque
é constante;
;
.
- Derivando
em relação a , tratando como constante:
Explicação da conta:
;
;
.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema das equações
Podemos simplificar dividindo a segunda por
, ou seja
. Da primeira, dividir por
também:
, ou seja
.
Agora igualamos as duas expressões para
:
Passo algébrico: mover todos os termos para um lado:
Portanto as soluções para
são
ou
.
Para cada
achamos
usando
:
- Se
, então . Então um ponto crítico é . - Se
, então . Então outro ponto crítico é .
Concluímos que os pontos críticos são
e
.]
Passo 4
Para classificar cada ponto crítico usamos as derivadas segundas e o discriminante da forma quadrática associada (teste do Hessiano para funções de duas variáveis). Vou explicar a regra antes de aplicar:
Regra do teste das derivadas segundas (Hessiano):
- Calcule
, e . - Defina o discriminante (determinante do Hessiano)
- Se
e no ponto, então temos mínimo local. - Se
e no ponto, então temos máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora calculemos as derivadas segundas da nossa função:
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a (ou em relação a ):
(Consistência:
também.)
Formamos então o discriminante:
Passo 5
Avaliação do discriminante e classificação ponto a ponto.
- No ponto
:
- Calcule
:
- Como
, pelo teste temos que é um ponto de sela (saddle point).
Também podemos observar que, mas esse valor não caracteriza máximo nem mínimo porque há direções de aumento e de diminuição.
- No ponto
:
- Calcule
nesse ponto usando :
Logo
. Agora calcule
nesse ponto:
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
Vamos também calcular o valor da função nesse mínimo local (útil na prova e para comparação):
Vamos também calcular o valor da função nesse mínimo local (útil na prova e para comparação):
Calculemos termo a termo:
Colocando tudo sobre denominador
:
Portanto
.
Passo 6
Comentário sobre máximos e mínimos globais (para fechar o raciocínio). É bom na prova saber se algum extremo é global. Podemos ver que a função é não limitada acima e nem limitada abaixo: tomando
temos
, que tende a
quando
(logo sem máximo global) e tende a
quando
(logo sem mínimo global). Assim não existem máximos nem mínimos globais, apenas o mínimo local que encontramos.
Resposta
Ponto de sela:
.
Mínimo local: com valor
.
Não há máximos locais nem máximos ou mínimos globais.
Mínimo local:
Não há máximos locais nem máximos ou mínimos globais.