Encontre d y / d x e d^{2} y / d x^{2} para as curvas paramétricas:
x=t^{2}+1, y=t^{3}+t

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t^{2} + 1
y = t^{3} + t
e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} e \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;x e \;y estão dadas em função de um parâmetro \;t.
É necessário lembrar que para escrever \dfrac{d y}{d x} como razão de derivadas em \;t precisamos ter \dfrac{d x}{d t}\neq 0 (caso contrário a fórmula padrão não vale diretamente).

Passo 2

Fórmula para a primeira derivada em coordenadas paramétricas — explicação didática:
Se x=x(t) e y=y(t), então y depende de x indiretamente através de t. Pela regra da cadeia temos
\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x}\cdot\frac{d x}{d t}.
Aqui \dfrac{d y}{d t} é a derivada de y em relação a t, \dfrac{d x}{d t} é a derivada de x em relação a t, e \dfrac{d y}{d x} é o que queremos. Rearranjando (e assumindo \dfrac{d x}{d t}\neq 0) obtemos a fórmula útil
\frac{d y}{d x}=\frac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}}.
Isto é intuitivo: a taxa de variação de y em relação a x é a taxa de y em relação a t dividida pela taxa de x em relação a t.

Passo 3

Calculemos as derivadas em \;t das funções dadas (passo-a-passo):
Para x(t)=t^{2}+1,
\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t.
Para y(t)=t^{3}+t,
\frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}\bigl(t^{3}+t\bigr)=3t^{2}+1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
\frac{d y}{d x} = \frac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}} = \frac{3t^{2}+1}{2t}.
Observação prática: essa fração só está definida quando t\neq 0, porque \dfrac{d x}{d t}=2t seria zero em t=0. Opcionalmente podemos escrever a mesma expressão de forma separada:
\frac{d y}{d x}=\frac{3}{2}\,t+\frac{1}{2t},
o que às vezes ajuda a ver comportamento para t grande ou pequeno.

Passo 5

Fórmula para a segunda derivada — explicação didática:
A segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{d x^{2}} é a derivada de \dfrac{d y}{d x} em relação a x. Usando a regra da cadeia novamente, se diferenciarmos \dfrac{d y}{d x} em relação a t obtemos
\frac{d}{d t}\!\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\cdot\frac{d x}{d t}.
Rearranjando (assumindo \dfrac{d x}{d t}\neq 0):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\dfrac{d}{d t}\!\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{\dfrac{d x}{d t}}.
Ou seja, primeiro diferenciamos \dfrac{d y}{d x} em relação a t, depois dividimos por \dfrac{d x}{d t}.

Passo 6

Calculamos \dfrac{d}{d t}\!\left(\dfrac{d y}{d x}\right). Já temos
\frac{d y}{d x}=\frac{3t^{2}+1}{2t}.
Para derivar isso em relação a t podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{d t}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tomamos u(t)=3t^{2}+1 e v(t)=2t. Então u'(t)=6t e v'(t)=2.

Passo 7

Aplicando a regra do quociente passo-a-passo:
\frac{d}{d t}\!\left(\frac{3t^{2}+1}{2t}\right) =\frac{(6t)(2t)-(3t^{2}+1)(2)}{(2t)^{2}}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
(6t)(2t)=12t^{2}, \qquad (3t^{2}+1)(2)=6t^{2}+2,
logo o numerador é
12t^{2}-(6t^{2}+2)=6t^{2}-2.
O denominador é
(2t)^{2}=4t^{2}.
Portanto
\frac{d}{d t}\!\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{6t^{2}-2}{4t^{2}}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{d}{d t}\!\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{3t^{2}-1}{2t^{2}}.

Passo 8

Agora usamos a fórmula da Passo 5 para obter a segunda derivada:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =\frac{\dfrac{d}{d t}\!\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{\dfrac{d x}{d t}} =\frac{\dfrac{3t^{2}-1}{2t^{2}}}{2t}.
Fazendo a divisão (dividir por 2t é multiplicar por \dfrac{1}{2t}):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3t^{2}-1}{2t^{2}}\cdot\frac{1}{2t} = \frac{3t^{2}-1}{4t^{3}}.

Passo 9

Observações finais e domínio:
  • As expressões obtidas são válidas quando \dfrac{d x}{d t}=2t\neq 0, ou seja, para t\neq 0. Em t=0 a primeira derivada \dfrac{d y}{d x} (na forma acima) e a segunda derivada não são definidas porque a curva tem dx/dt=0 naquele ponto; para tratar t=0 haveria que analisar o comportamento da curva localmente (por exemplo, escrever y como função de x próximo ao ponto, se possível).
  • Resumo prático: você usa \dfrac{d y}{d x}=(dy/dt)/(dx/dt) e depois a fórmula para \dfrac{d^{2}y}{d x^{2}} explicada acima.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3t^{2}+1}{2t}
\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=\dfrac{3t^{2}-1}{4t^{3}}

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