Encontre
e
para as curvas paramétricas:
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede para encontrar
e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e
estão dadas em função de um parâmetro
.
É necessário lembrar que para escrever como razão de derivadas em
precisamos ter
(caso contrário a fórmula padrão não vale diretamente).
É necessário lembrar que para escrever
Passo 2
Fórmula para a primeira derivada em coordenadas paramétricas — explicação didática:
Se e
, então
depende de
indiretamente através de
. Pela regra da cadeia temos
Se
Aqui
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
em relação a
, e
é o que queremos. Rearranjando (e assumindo
) obtemos a fórmula útil
Isto é intuitivo: a taxa de variação de
em relação a
é a taxa de
em relação a
dividida pela taxa de
em relação a
.
Passo 3
Calculemos as derivadas em
das funções dadas (passo-a-passo):
Para ,
Para
Para
,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
Observação prática: essa fração só está definida quando
, porque
seria zero em
. Opcionalmente podemos escrever a mesma expressão de forma separada:
o que às vezes ajuda a ver comportamento para
grande ou pequeno.
Passo 5
Fórmula para a segunda derivada — explicação didática:
A segunda derivada é a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia novamente, se diferenciarmos
em relação a
obtemos
A segunda derivada
Rearranjando (assumindo
):
Ou seja, primeiro diferenciamos
em relação a
, depois dividimos por
.
Passo 6
Calculamos
. Já temos
Para derivar isso em relação a
podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
e
são funções, então
Aqui tomamos
e
. Então
e
.
Passo 7
Aplicando a regra do quociente passo-a-passo:
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
logo o numerador é
O denominador é
Portanto
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Agora usamos a fórmula da Passo 5 para obter a segunda derivada:
Fazendo a divisão (dividir por
é multiplicar por
):
Passo 9
Observações finais e domínio:
- As expressões obtidas são válidas quando
, ou seja, para . Em a primeira derivada (na forma acima) e a segunda derivada não são definidas porque a curva tem naquele ponto; para tratar haveria que analisar o comportamento da curva localmente (por exemplo, escrever como função de próximo ao ponto, se possível). - Resumo prático: você usa
e depois a fórmula para explicada acima.