Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
x=e^{t} \cos t, y=e^{t} \sin t, t=0

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=e^{t}\cos t,\qquad y=e^{t}\sin t,
e pede a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao parâmetro t=0.
Informações relevantes que temos:
  1. As fórmulas paramétricas de x e y em função de t: x(t)=e^{t}\cos t e y(t)=e^{t}\sin t.
  2. O valor do parâmetro onde queremos a tangente: t=0.
O que precisamos encontrar (as perguntas do enunciado):
  1. O ponto da curva correspondente a t=0, isto é (x(0),y(0)).
  2. A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto, isto é \dfrac{dy}{dx} avaliado em t=0.
  3. A equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.

Passo 2

Método geral para curvas paramétricas: para uma curva dada por x(t) e y(t), a inclinação da tangente (derivada de y em relação a x) é dada pela razão das derivadas em relação a t,
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Explicação didática: pense em pequenos incrementos \Delta t. Quando t muda um pouco, x muda \Delta x\approx \dfrac{dx}{dt}\Delta t e y muda \Delta y\approx \dfrac{dy}{dt}\Delta t. Então a taxa \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx \dfrac{\dfrac{dy}{dt}\Delta t}{\dfrac{dx}{dt}\Delta t}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}. Essa razão, no limite \Delta t\to0, dá \dfrac{dy}{dx}. Portanto vamos:
  1. Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} usando regra do produto.
  2. Formar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} e avaliar em t=0.
  3. Calcular o ponto (x(0),y(0)).
  4. Usar a forma ponto-inclinação da reta: y-y_0=m(x-x_0), onde m=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0} e (x_0,y_0)=(x(0),y(0)).

Passo 3

Calculemos as derivadas de x(t) e y(t). Lembre-se da regra do produto: se u(t)=a(t)b(t) então u'(t)=a'(t)b(t)+a(t)b'(t). Aqui a(t)=e^{t} e b(t)=\cos t ou \sin t.
Para x(t)=e^{t}\cos t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)\cos t + e^{t}\frac{d}{dt}\big(\cos t\big).
Sabendo \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, obtemos
\frac{dx}{dt}=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Para y(t)=e^{t}\sin t:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)\sin t + e^{t}\frac{d}{dt}\big(\sin t\big).
Sabendo \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos
\frac{dy}{dt}=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t).

Passo 4

Forme a razão \dfrac{dy}{dx} simplificando fatores comuns:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{e^{t}(\sin t+\cos t)}{e^{t}(\cos t-\sin t)}.
O fator e^{t} aparece no numerador e no denominador e é sempre diferente de zero, então podemos cancelá-lo:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}.
Agora avalie em t=0. Usando \sin 0=0 e \cos 0=1,
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}=\frac{0+1}{1-0}=1.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto correspondente a t=0 é m=1.

Passo 5

Calcule o ponto da curva em t=0. Substitua em x(t) e y(t):
x(0)=e^{0}\cos 0 = 1\cdot 1 = 1,
y(0)=e^{0}\sin 0 = 1\cdot 0 = 0.
Logo o ponto é \big(1,0\big).

Passo 6

Monte a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m\big(x-x_{0}\big).
Substituindo m=1 e (x_{0},y_{0})=(1,0),
y-0=1\big(x-1\big).
Simplificando obtemos
y=x-1.
Essa é a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=0.

Resposta

y=x-1

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