Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado: x=e^{t} \cos t, y=e^{t} \sin t, t=0
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
x=e^{t}\cos t,\qquad y=e^{t}\sin t,
e pede a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao parâmetro t=0.
Informações relevantes que temos:
As fórmulas paramétricas de x e y em função de t: x(t)=e^{t}\cos t e y(t)=e^{t}\sin t.
O valor do parâmetro onde queremos a tangente: t=0.
O que precisamos encontrar (as perguntas do enunciado):
O ponto da curva correspondente a t=0, isto é (x(0),y(0)).
A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto, isto é \dfrac{dy}{dx} avaliado em t=0.
A equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.
Passo 2
Método geral para curvas paramétricas: para uma curva dada por x(t) e y(t), a inclinação da tangente (derivada de y em relação a x) é dada pela razão das derivadas em relação a t,
Explicação didática: pense em pequenos incrementos \Delta t. Quando t muda um pouco, x muda \Delta x\approx \dfrac{dx}{dt}\Delta t e y muda \Delta y\approx \dfrac{dy}{dt}\Delta t. Então a taxa \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx \dfrac{\dfrac{dy}{dt}\Delta t}{\dfrac{dx}{dt}\Delta t}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}. Essa razão, no limite \Delta t\to0, dá \dfrac{dy}{dx}. Portanto vamos:
Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} usando regra do produto.
Formar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} e avaliar em t=0.
Calcular o ponto (x(0),y(0)).
Usar a forma ponto-inclinação da reta: y-y_0=m(x-x_0), onde m=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0} e (x_0,y_0)=(x(0),y(0)).
Passo 3
Calculemos as derivadas de x(t) e y(t). Lembre-se da regra do produto: se u(t)=a(t)b(t) então u'(t)=a'(t)b(t)+a(t)b'(t). Aqui a(t)=e^{t} e b(t)=\cos t ou \sin t.
Para x(t)=e^{t}\cos t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)\cos t + e^{t}\frac{d}{dt}\big(\cos t\big).
Sabendo \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, obtemos
\frac{dx}{dt}=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Para y(t)=e^{t}\sin t:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)\sin t + e^{t}\frac{d}{dt}\big(\sin t\big).
Sabendo \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos
\frac{dy}{dt}=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t).
Passo 4
Forme a razão \dfrac{dy}{dx} simplificando fatores comuns: