Encontre d y / d x e d^{2} y / d x^{2} para as curvas paramétricas:
x=t-\sin t, y=1-\cos t

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas paramétricas
x = t - \sin t,
y = 1 - \cos t,
e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} e \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}.
Informações relevantes: as duas funções estão dadas em termos do parâmetro t. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Regra básica para curvas paramétricas: se x=x(t) e y=y(t) são diferenciáveis e dx/dt\neq 0, então a derivada primeira em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Explicação rápida: y e x variam com t; a taxa de variação de y em relação a x é a razão entre a taxa de variação de y em relação a t e a taxa de variação de x em relação a t. Isso vem diretamente da regra da cadeia.

Passo 3

Calculemos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Derivando termo a termo:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t-\sin t\bigr)=1-\cos t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t.
Aqui usei que \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}.
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas de ângulo metade. Lembre que
\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}, \qquad 1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}.
Substituindo,
\frac{dy}{dx}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} =\frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} =\cot\!\left(\frac{t}{2}\right).
Observação: a forma \dfrac{\sin t}{1-\cos t} e a forma \cot\!\left(\dfrac{t}{2}\right) são equivalentes quando 1-\cos t\neq 0.

Passo 5

Para a segunda derivada usamos a fórmula conveniente para parametrizadas:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr)}{\dfrac{dx}{dt}}.
Justificativa: d^{2}y/dx^{2} = d/dx(dy/dx) e d/dx = \dfrac{1}{dx/dt}\,d/dt, daí a fórmula acima.

Passo 6

Vamos calcular \dfrac{d}{dt}\!\bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr). Partindo da forma simples \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}, aplicamos a regra do quociente. Seja u=\sin t e v=1-\cos t. Então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\cos t\,(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^2}.
Simplificando o numerador usando \sin^2 t+\cos^2 t=1:
\cos t\,(1-\cos t)-\sin^2 t = \cos t -\cos^2 t -\sin^2 t = \cos t -1 = -\bigl(1-\cos t\bigr).
Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{-(1-\cos t)}{(1-\cos t)^2}=-\frac{1}{1-\cos t}.

Passo 7

Agora dividimos esse resultado por \dfrac{dx}{dt}=1-\cos t para obter a segunda derivada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{-\dfrac{1}{1-\cos t}}{1-\cos t} =-\frac{1}{(1-\cos t)^2}.
Podemos usar a identidade 1-\cos t=2\sin^2\!\dfrac{t}{2} para escrever uma forma alternativa:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{1}{\bigl(2\sin^2\frac{t}{2}\bigr)^2 }=-\frac{1}{4}\csc^4\!\left(\frac{t}{2}\right).

Passo 8

Comentário prático e incentivo: Note que as expressões acima são válidas quando dx/dt\neq 0, isto é, quando 1-\cos t\neq 0. Isso ocorre para t\neq 2\pi k ( k\in\mathbb{Z}); em t=2\pi k a derivada \dfrac{dy}{dx} está indefinida (pode haver uma tangente vertical ou um ponto singular). Você está indo bem — esses passos são exatamente o que geralmente pedem numa prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\!\left(\dfrac{t}{2}\right)
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{1}{(1-\cos t)^2}=-\dfrac{1}{4}\csc^4\!\left(\dfrac{t}{2}\right)

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