Encontre
e
para as curvas paramétricas:
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas paramétricas
e pede para encontrar
e
.
Informações relevantes: as duas funções estão dadas em termos do parâmetro . Não há mais dados no enunciado.
Informações relevantes: as duas funções estão dadas em termos do parâmetro
Passo 2
Regra básica para curvas paramétricas: se
e
são diferenciáveis e
, então a derivada primeira em relação a
é dada por
Explicação rápida:
e
variam com
; a taxa de variação de
em relação a
é a razão entre a taxa de variação de
em relação a
e a taxa de variação de
em relação a
. Isso vem diretamente da regra da cadeia.
Passo 3
Calculemos
e
. Derivando termo a termo:
Aqui usei que
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas de ângulo metade. Lembre que
Substituindo,
Observação: a forma
e a forma
são equivalentes quando
.
Passo 5
Para a segunda derivada usamos a fórmula conveniente para parametrizadas:
Justificativa:
e
, daí a fórmula acima.
Passo 6
Vamos calcular
. Partindo da forma simples
, aplicamos a regra do quociente. Seja
e
. Então
Simplificando o numerador usando
:
Portanto
Passo 7
Agora dividimos esse resultado por
para obter a segunda derivada:
Podemos usar a identidade
para escrever uma forma alternativa:
Passo 8
Comentário prático e incentivo: Note que as expressões acima são válidas quando
, isto é, quando
. Isso ocorre para
(
); em
a derivada
está indefinida (pode haver uma tangente vertical ou um ponto singular). Você está indo bem — esses passos são exatamente o que geralmente pedem numa prova!