Exercício 3: Use a integração por partes para calcular:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. O conteúdo aqui é integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de funções. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica e como escolher as partes certas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente escolhe duas partes da função para
e
. No nosso caso, foi dado que:
Passo 3
Vamos calcular
e
:
- Derivando
, temos:
- Integramos
para encontrar :
(O constante
geralmente é ignorado durante a integração por partes e incorporado na constante final.)
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Podemos fatorar o
para simplificar:
Resposta
Portanto, a integral de
é: