Exercício 3: Use a integração por partes para calcular:
integral ln (x)x^2 d x, com u(x)=ln (x) e dd x v(x)=1x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de ln(x)x^2 em relação a x. O conteúdo aqui é integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de funções. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica e como escolher as partes certas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe duas partes da função para u e dv. No nosso caso, foi dado que:
  • u(x) = ln(x)
  • ddx v(x) = 1x^2

Passo 3

Vamos calcular du e v:
  • Derivando u(x) = ln(x), temos:
du = 1x , dx
  • Integramos dv = 1x^2 , dx para encontrar v:
v = integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = -x^-1 + C = -1x
(O constante C geralmente é ignorado durante a integração por partes e incorporado na constante final.)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x)x^2 , dx = ln(x) cdot (-1x) - integral (-1x) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln(x)x + integral 1x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = -x^-1 + C = -1x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-ln(x)x + (-1x) + C = -ln(x)x - 1x + C
Podemos fatorar o -1x para simplificar:
-1x ( ln(x) + 1 ) + C

Resposta

Portanto, a integral de ln(x)x^2 , dx é:
-ln(x)x - 1x + C

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