1. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{2}\right) no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle e pede a curvatura no ponto (1,1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle.
  • O ponto onde queremos a curvatura é (1,1,1).
    Pergunta a responder: qual é a curvatura \kappa da curva no ponto (1,1,1)?

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão de curvatura para curvas no espaço em função das derivadas da parametrização. Primeiro explico a fórmula e o que cada coisa significa.
A curvatura \kappa(t) em termos de \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.
O que cada símbolo significa:
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r} em relação a t (velocidade da curva).
  • \mathbf{r}''(t) é a segunda derivada (aceleração da curva).
  • \times é o produto vetorial (cross product) entre vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) do vetor.
    Intuição rápida: \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| mede “a tendência de curvar” da trajetória, e dividir por \|\mathbf{r}'\|^{3} ajusta isso pela velocidade para obter uma medida geométrica da curvatura.

Passo 3

Agora calculo as derivadas da parametrização. Diferencio coordenada a coordenada:
\mathbf{r}(t)=\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^{2},\;\frac{d}{dt}t^{2}\right\rangle=\left\langle 1,\;2t,\;2t\right\rangle
\mathbf{r}''(t)=\left\langle \frac{d}{dt}1,\;\frac{d}{dt}2t,\;\frac{d}{dt}2t\right\rangle=\left\langle 0,\;2,\;2\right\rangle.

Passo 4

Antes de avaliar a fórmula, precisamos do valor de t correspondente ao ponto (1,1,1). Igualando \mathbf{r}(t) ao ponto:
\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle = (1,1,1).
Da primeira coordenada vem \;t=1. Isso verifica-se nas outras duas coordenadas porque 1^{2}=1. Logo o parâmetro do ponto é t=1.

Passo 5

Avalio as derivadas em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\left\langle 1,\;2\cdot1,\;2\cdot1\right\rangle=\left\langle 1,\;2,\;2\right\rangle,
\mathbf{r}''(1)=\left\langle 0,\;2,\;2\right\rangle.

Passo 6

Calculo o produto vetorial \mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1). Uso a expansão por determinante:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}
Desenvolvendo:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)=\left\langle 2\cdot2-2\cdot2,\;-(1\cdot2-0\cdot2),\;1\cdot2-0\cdot2\right\rangle=\left\langle 0,\;-2,\;2\right\rangle.

Passo 7

Calculo a norma do produto vetorial:
\|\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)\|=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 8

Calculo a norma de \mathbf{r}'(1) e o seu cubo:
\|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3,
\|\mathbf{r}'(1)\|^{3}=3^{3}=27.

Passo 9

Agora substituo tudo na fórmula da curvatura:
\kappa(1)=\frac{\|\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)\|}{\|\mathbf{r}'(1)\|^{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{27}.
Interpretação rápida e motivadora: esse número é a “curvatura geométrica” no ponto (1,1,1). Quanto menor, mais suave é a curva nesse ponto; quanto maior, mais curvada. Você já chegou na resposta principal — mandou bem mantendo a calma!

Resposta

\dfrac{2\sqrt{2}}{27}

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