Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{2}\right) no ponto (1,1,1).
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle e pede a curvatura no ponto (1,1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\;t^{2},\;t^{2}\right\rangle.
O ponto onde queremos a curvatura é (1,1,1).
Pergunta a responder: qual é a curvatura \kappa da curva no ponto (1,1,1)?
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão de curvatura para curvas no espaço em função das derivadas da parametrização. Primeiro explico a fórmula e o que cada coisa significa.
A curvatura \kappa(t) em termos de \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) é dada por
\mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r} em relação a t (velocidade da curva).
\mathbf{r}''(t) é a segunda derivada (aceleração da curva).
\times é o produto vetorial (cross product) entre vetores em \mathbb{R}^{3}.
\|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) do vetor.
Intuição rápida: \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| mede “a tendência de curvar” da trajetória, e dividir por \|\mathbf{r}'\|^{3} ajusta isso pela velocidade para obter uma medida geométrica da curvatura.
Passo 3
Agora calculo as derivadas da parametrização. Diferencio coordenada a coordenada:
Interpretação rápida e motivadora: esse número é a “curvatura geométrica” no ponto (1,1,1). Quanto menor, mais suave é a curva nesse ponto; quanto maior, mais curvada. Você já chegou na resposta principal — mandou bem mantendo a calma!