- Trace o gráfico da curva com equações paramétricas
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede para “traçar o gráfico da curva”, ou seja, descrever qual é a curva no espaço e como ela se comporta quando variamos
. Informações relevantes que já temos do enunciado:
Não há mais dados no enunciado; a primeira observação importante é que a presença de
impõe uma restrição no domínio do parâmetro (veja o próximo passo).
Passo 2
Determinar o domínio de
. A expressão
(a raiz quadrada real) só é real quando
. Logo o parâmetro varre
Escrevendo a função vetorial que descreve a curva:
Isso significa que a curva começa no ponto correspondente a
e é seguida para frente enquanto
cresce.
Passo 3
Eliminar o parâmetro para encontrar relações entre
. Como
, podemos substituir
por
nas outras duas equações:
com a restrição
(vinda de
). Essas são formas úteis; também podemos obter relações sem raiz:
elevando ao quadrado:
elevando
e substituindo
em
:
Então a curva é a interseção das superfícies dadas por
e
, com
.
Passo 4
Analisar a projeção da curva no plano
. A projeção no plano
é a curva
ou seja, a semi‑ramificação positiva da raiz quadrada: parte que começa em
e cresce para
quando
. A derivada desta curva (slope) é
que tende para
quando
. Isso significa que, na projeção
, a curva tem inclinação vertical ao partir da origem.
Passo 5
Analisar a projeção no plano
. A projeção no plano
é
ou seja, a metade direita (com
) de uma parábola voltada para baixo que passa pela origem. Nesta projeção o vértice está em
e para
temos
.
Passo 6
Analisar a projeção no plano
. Eliminando
por
obtemos
É uma curva quartica negativa em
, definida apenas para
. Mostra que para pequenos
o
é muito pequeno (próximo de zero) e para
grandes o
fica bastante negativo.
Passo 7
Comportamento e direção da curva: calcular a derivada vetorial (vetor velocidade)
Observações importantes:
- Para
o vetor existe e a curva é diferenciável. Componente em é , em é e em é . - Em
a componente diverge, portanto não está definida: a curva não é regular em (comportamento singular na origem). - Para
, a componente domina, então a direção do vetor velocidade tende para o eixo positivo. Assim a tangente no ponto inicial (entendida como direção limite) aponta ao longo do eixo positivo : direção aproximada . - Para
, temos , mais lentamente, e rapidamente (pois ). Isso diz que a curva desce fortemente em enquanto cresce.
Passo 8
Resumo geométrico para traçar o gráfico à mão (passos práticos de esboço):
- Marque o ponto inicial
. - Na direção positiva do eixo
faça a projeção seguindo (ramo da raiz, só ). - A partir deste ramo, para cada
coloque : ou seja, à medida que cresce, vá colocando pontos com negativo, formando uma queda em conforme aumenta. - O esboço resultante é uma curva que parte da origem dirigindo-se inicialmente quase paralela ao eixo
(devido ao comportamento singular em ), depois se estende para , e profundidade , caindo rapidamente em conforme cresce.
Resposta
A curva é dada por
,
.\nEquivalentes sem parâmetro:
e
com
, ou ainda
com
.\nPonto inicial:
. Tangente limite na origem: direção
. Para
temos
,
,
; a curva é a interseção das superfícies
e
.