1. Trace o gráfico da curva com equações paramétricas
x=t \quad y=4 t^{1 / 2} \quad z=-t^{2}

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=t,\qquad y=4\,t^{1/2},\qquad z=-t^{2}
e pede para “traçar o gráfico da curva”, ou seja, descrever qual é a curva no espaço e como ela se comporta quando variamos t. Informações relevantes que já temos do enunciado:
\begin{aligned} &x=t,\\\ &y=4\,t^{1/2},\\\ &z=-t^{2}. \end{aligned}
Não há mais dados no enunciado; a primeira observação importante é que a presença de t^{1/2} impõe uma restrição no domínio do parâmetro (veja o próximo passo).

Passo 2

Determinar o domínio de t. A expressão t^{1/2} (a raiz quadrada real) só é real quando t\ge 0. Logo o parâmetro varre
t\in[0,\infty).
Escrevendo a função vetorial que descreve a curva:
\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\;4\sqrt{t},\;-t^{2}\bigr),\qquad t\in[0,\infty).
Isso significa que a curva começa no ponto correspondente a t=0 e é seguida para frente enquanto t cresce.

Passo 3

Eliminar o parâmetro para encontrar relações entre x,y,z. Como x=t, podemos substituir t por x nas outras duas equações:
y=4\sqrt{x}\qquad\text{e}\qquad z=-x^{2},
com a restrição x\ge 0 (vinda de t\ge 0). Essas são formas úteis; também podemos obter relações sem raiz:
elevando y ao quadrado:
y^{2}=16x,
e substituindo x em z:
z=-x^{2}=-\left(\frac{y^{2}}{16}\right)^{2}=-\frac{y^{4}}{256}.
Então a curva é a interseção das superfícies dadas por y^{2}=16x e z=-x^{2}, com x\ge 0.

Passo 4

Analisar a projeção da curva no plano xy. A projeção no plano xy é a curva
y=4\sqrt{x},\qquad x\ge 0,
ou seja, a semi‑ramificação positiva da raiz quadrada: parte que começa em (0,0) e cresce para y>0 quando x>0. A derivada desta curva (slope) é
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(4\sqrt{x}\bigr)=\frac{2}{\sqrt{x}},
que tende para +\infty quando x\to 0^+. Isso significa que, na projeção xy, a curva tem inclinação vertical ao partir da origem.

Passo 5

Analisar a projeção no plano xz. A projeção no plano xz é
z=-x^{2},\qquad x\ge 0,
ou seja, a metade direita (com x\ge0) de uma parábola voltada para baixo que passa pela origem. Nesta projeção o vértice está em (0,0) e para x>0 temos z<0.

Passo 6

Analisar a projeção no plano yz. Eliminando x por x=\dfrac{y^{2}}{16} obtemos
z=-\frac{y^{4}}{256},\qquad y\ge 0.
É uma curva quartica negativa em z, definida apenas para y\ge0. Mostra que para pequenos y o z é muito pequeno (próximo de zero) e para y grandes o z fica bastante negativo.

Passo 7

Comportamento e direção da curva: calcular a derivada vetorial (vetor velocidade)
\mathbf{r}'(t)=\left(1,\;2t^{-1/2},\;-2t\right),\qquad t>0.
Observações importantes:
  • Para t>0 o vetor existe e a curva é diferenciável. Componente em x é 1, em y é 2/\sqrt{t} e em z é -2t.
  • Em t=0 a componente 2t^{-1/2} diverge, portanto \mathbf{r}'(0) não está definida: a curva não é regular em t=0 (comportamento singular na origem).
  • Para t\to 0^+, a componente 2/\sqrt{t} domina, então a direção do vetor velocidade tende para o eixo y positivo. Assim a tangente no ponto inicial (0,0,0) (entendida como direção limite) aponta ao longo do eixo positivo y: direção aproximada (0,1,0).
  • Para t\to\infty, temos x\to\infty, y\sim 4\sqrt{t}\to\infty mais lentamente, e z\to -\infty rapidamente (pois z=-t^{2}=-x^{2}). Isso diz que a curva desce fortemente em z enquanto x cresce.

Passo 8

Resumo geométrico para traçar o gráfico à mão (passos práticos de esboço):
  1. Marque o ponto inicial (0,0,0).
  2. Na direção positiva do eixo x faça a projeção xy seguindo y=4\sqrt{x} (ramo da raiz, só y\ge0).
  3. A partir deste ramo, para cada x coloque z=-x^{2}: ou seja, à medida que x cresce, vá colocando pontos com z negativo, formando uma queda em z conforme x aumenta.
  4. O esboço resultante é uma curva que parte da origem dirigindo-se inicialmente quase paralela ao eixo y (devido ao comportamento singular em t=0), depois se estende para x>0, y>0 e profundidade z<0, caindo rapidamente em z conforme x cresce.

Resposta

A curva é dada por \mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,4\sqrt{t},\,-t^{2}\bigr), t\in[0,\infty).\nEquivalentes sem parâmetro: y^{2}=16x e z=-x^{2} com x\ge 0, ou ainda z=-\dfrac{y^{4}}{256} com y\ge 0.\nPonto inicial: (0,0,0). Tangente limite na origem: direção (0,1,0). Para t>0 temos x>0, y>0, z<0; a curva é a interseção das superfícies y^{2}=16x e z=-x^{2}.

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