1. Se \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle, encontre \mathbf{r}^{\'}(t), \mathbf{T}(1), \mathbf{r}^{\'\prime}(t) e \mathbf{r}^{\'}(t) \times \mathbf{r}^{\'\prime}(t).
  2. Se \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{2 t}, e^{-2 t}, t e^{2 t}\right\rangle, determine \mathbf{T}(0), \mathbf{r}^{\'\prime}(0) e \mathbf{r}^{\'}(t) \cdot \mathbf{r}^{\'\prime}(t).
  3. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
    x=t^{5}, \quad y=t^{4}, \quad z=t^{3} ; \quad(1,1,1)

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • Para a questão 21: foi dada \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\; t^{2},\; t^{3}\right\rangle. O enunciado pede \mathbf{r}'(t), \mathbf{T}(1), \mathbf{r}''(t) e \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t).
  • Para a questão 22: foi dada \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{2t},\; e^{-2t},\; t e^{2t}\right\rangle. O enunciado pede \mathbf{T}(0), \mathbf{r}'(0) e \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t).
  • Para a questão 23: a curva é dada por x=t^{5},\; y=t^{4},\; z=t^{3} e pede-se as equações paramétricas da reta tangente no ponto (1,1,1).
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Começando a resolver a questão 21: primeiro calculemos \mathbf{r}'(t). Regra usada: derivada de cada componente separadamente; a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
  • A componente x(t)=t tem derivada 1.
  • A componente y(t)=t^{2} tem derivada 2t.
  • A componente z(t)=t^{3} tem derivada 3t^{2}.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 1,\;2t,\;3t^{2}\right\rangle.

Passo 3

Agora vamos achar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) em geral e depois avaliar em t=1. Fórmula usada: o vetor tangente unitário é a versão normalizada da derivada
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Aqui \|\mathbf{r}'(t)\| significa a norma (magnitude) do vetor \mathbf{r}'(t), calculada por \sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}}.
Calculemos a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.
Em t=1 temos \mathbf{r}'(1)=\left\langle 1,2,3\right\rangle e
\|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Logo
\mathbf{T}(1)=\frac{\left\langle 1,2,3\right\rangle}{\sqrt{14}}=\left\langle \frac{1}{\sqrt{14}},\;\frac{2}{\sqrt{14}},\;\frac{3}{\sqrt{14}}\right\rangle.

Passo 4

Ainda na questão 21: calculemos \mathbf{r}''(t), que é a derivada de \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de 2t é 2.
  • Derivada de 3t^{2} é 6t.
Portanto
\mathbf{r}''(t)=\left\langle 0,\;2,\;6t\right\rangle.

Passo 5

Agora precisamos do produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t). Vou usar a regra do determinante (com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
Se \mathbf{a}=\langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle e \mathbf{b}=\langle b_{1},b_{2},b_{3}\rangle então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\langle a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\; a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\; a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right\rangle.
Aplique isso com \mathbf{a}=\mathbf{r}'(t)=\langle 1,2t,3t^{2}\rangle e \mathbf{b}=\mathbf{r}''(t)=\langle 0,2,6t\rangle.
Calculemos cada componente:
  • Componente x: (2t)(6t) - (3t^{2})(2) = 12t^{2}-6t^{2}=6t^{2}.
  • Componente y: (3t^{2})(0) - (1)(6t) = 0-6t = -6t. (Note o sinal: é a segunda componente da fórmula.)
  • Componente z: (1)(2) - (2t)(0) = 2-0=2.
Logo
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\left\langle 6t^{2},\;-6t,\;2\right\rangle.
Podemos também factorar 2 se quisermos: 2\langle 3t^{2},-3t,1\rangle.

Passo 6

Passando à questão 22: primeiro calculemos \mathbf{r}'(t) para \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{2t},\; e^{-2t},\; t e^{2t}\right\rangle.
Regras usadas:
  • Derivada de e^{kt} é k e^{kt}.
  • Derivada de t e^{2t} aplica a regra do produto: (t e^{2t})' = 1\cdot e^{2t} + t\cdot(2 e^{2t}) = e^{2t}(1+2t).
Assim
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 2e^{2t},\; -2e^{-2t},\; (1+2t)e^{2t}\right\rangle.

Passo 7

Ainda na 22: calculemos \mathbf{r}'(0). Basta substituir t=0 em \mathbf{r}'(t).
  • 2e^{2\cdot 0}=2e^{0}=2.
  • -2e^{-2\cdot 0}=-2e^{0}=-2.
  • (1+2\cdot 0)e^{2\cdot 0}=1\cdot 1=1.
Portanto
\mathbf{r}'(0)=\left\langle 2,\;-2,\;1\right\rangle.

Passo 8

Agora calculemos \mathbf{T}(0), o vetor tangente unitário em t=0. Usamos a fórmula
\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|}.
Calculemos a norma de \mathbf{r}'(0)=\langle 2,-2,1\rangle:
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Logo
\mathbf{T}(0)=\frac{\langle 2,-2,1\rangle}{3}=\left\langle \frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;\frac{1}{3}\right\rangle.

Passo 9

Ainda na 22: calculemos \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t). Isto é o produto escalar de \mathbf{r}'(t) consigo mesmo, que resulta no quadrado da norma: \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}.
Usando \mathbf{r}'(t)=\left\langle 2e^{2t},\; -2e^{-2t},\; (1+2t)e^{2t}\right\rangle, fazemos a soma dos quadrados das componentes:
\begin{aligned} \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t) &=(2e^{2t})^{2}+(-2e^{-2t})^{2}+((1+2t)e^{2t})^{2} \\\ &=4e^{4t}+4e^{-4t}+(1+2t)^{2}e^{4t}. \end{aligned}
Podemos agrupar os termos com e^{4t}:
\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=\bigl(4+(1+2t)^{2}\bigr)e^{4t}+4e^{-4t}.
Se quiser expandir (1+2t)^{2}=1+4t+4t^{2}, então
\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=\bigl(5+4t+4t^{2}\bigr)e^{4t}+4e^{-4t}.

Passo 10

Finalmente a questão 23: queremos a reta tangente à curva no ponto (1,1,1). Primeiro identifiquemos a função vetor da curva e o parâmetro correspondente ao ponto.
A função posição é
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{5},\; t^{4},\; t^{3}\right\rangle.
O ponto (1,1,1) corresponde a t=1 porque 1^{5}=1,\;1^{4}=1,\;1^{3}=1.

Passo 11

Calculemos o vetor tangente (derivada) \mathbf{r}'(t) para a curva:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 5t^{4},\;4t^{3},\;3t^{2}\right\rangle.
Em t=1 obtemos
\mathbf{r}'(1)=\left\langle 5,\;4,\;3\right\rangle.
A reta tangente em \mathbf{r}(1)=\langle 1,1,1\rangle tem forma vetorial
\mathbf{R}(s)=\mathbf{r}(1)+s\,\mathbf{r}'(1)=\left\langle 1,1,1\right\rangle + s\left\langle 5,4,3\right\rangle,
onde s é o parâmetro da reta (pode ser pensado como “tempo” ao longo da reta).

Passo 12

Escrevendo as equações paramétricas da reta tangente (separando componentes) obtemos
x=1+5s,\qquad y=1+4s,\qquad z=1+3s,
onde s varia sobre os reais. Essas são as equações pedidas.

Resposta

  1. \mathbf{r}'(t)=\left\langle 1,\;2t,\;3t^{2}\right\rangle,\quad \mathbf{T}(1)=\left\langle \dfrac{1}{\sqrt{14}},\;\dfrac{2}{\sqrt{14}},\;\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right\rangle,\quad \mathbf{r}''(t)=\left\langle 0,\;2,\;6t\right\rangle,\quad \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\left\langle 6t^{2},\;-6t,\;2\right\rangle\\\\ 22. \(\mathbf{T}(0)=\left\langle \dfrac{2}{3},\;-\dfrac{2}{3},\;\dfrac{1}{3}\right\rangle,\quad \mathbf{r}'(0)=\left\langle 2,\;-2,\;1\right\rangle,\quad \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=\bigl(5+4t+4t^{2}\bigr)e^{4t}+4e^{-4t}\\\\ 23. \(x=1+5s,\quad y=1+4s,\quad z=1+3s)

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