-
Se
, encontre
e
.
-
Se
, determine
e
.
-
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Se
, encontre
e
.
Se
, determine
e
.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
- Para a questão 21: foi dada
. O enunciado pede , , e . - Para a questão 22: foi dada
. O enunciado pede , e . - Para a questão 23: a curva é dada por
e pede-se as equações paramétricas da reta tangente no ponto .
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Começando a resolver a questão 21: primeiro calculemos
. Regra usada: derivada de cada componente separadamente; a derivada de
é
.
- A componente
tem derivada . - A componente
tem derivada . - A componente
tem derivada .
Portanto
Passo 3
Agora vamos achar o vetor tangente unitário
em geral e depois avaliar em
. Fórmula usada: o vetor tangente unitário é a versão normalizada da derivada
Aqui
significa a norma (magnitude) do vetor
, calculada por
.
Calculemos a norma:
Em
temos
e
Logo
Passo 4
Ainda na questão 21: calculemos
, que é a derivada de
. Derivando componente a componente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 5
Agora precisamos do produto vetorial
. Vou usar a regra do determinante (com as bases
):
Se
e
então
Aplique isso com
e
.
Calculemos cada componente:
- Componente
: . - Componente
: . (Note o sinal: é a segunda componente da fórmula.) - Componente
: .
Logo
Podemos também factorar
se quisermos:
.
Passo 6
Passando à questão 22: primeiro calculemos
para
.
Regras usadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
aplica a regra do produto: .
Assim
Passo 7
Ainda na 22: calculemos
. Basta substituir
em
.
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 8
Agora calculemos
, o vetor tangente unitário em
. Usamos a fórmula
Calculemos a norma de
:
Logo
Passo 9
Ainda na 22: calculemos
. Isto é o produto escalar de
consigo mesmo, que resulta no quadrado da norma:
.
Usando
, fazemos a soma dos quadrados das componentes:
Podemos agrupar os termos com
:
Se quiser expandir
, então
Passo 10
Finalmente a questão 23: queremos a reta tangente à curva no ponto
. Primeiro identifiquemos a função vetor da curva e o parâmetro correspondente ao ponto.
A função posição é
O ponto
corresponde a
porque
.
Passo 11
Calculemos o vetor tangente (derivada)
para a curva:
Em
obtemos
A reta tangente em
tem forma vetorial
onde
é o parâmetro da reta (pode ser pensado como “tempo” ao longo da reta).
Passo 12
Escrevendo as equações paramétricas da reta tangente (separando componentes) obtemos
onde
varia sobre os reais. Essas são as equações pedidas.
Resposta
- )