Encontre a curvatura e o plano binormal da curva r(t)=\left(e^{t} \cos (t), e^{t} \operatorname{sen}(t), t\right) no ponto (1,0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
r(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\bigr)
e pede a curvatura \kappa e o plano binormal no ponto (1,0,0).
Conteúdo: derivadas de vetor, produto vetorial, fórmula
\kappa=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}
e equação de plano com vetor normal dado por um versor.

Passo 2

Primeiro achamos t_{0} tal que
r(t_{0})=(1,0,0).
Da terceira componente t_{0}=0. Verificamos as outras: e^{0}\cos0=1, e^{0}\sin0=0. Logo t_{0}=0.

Passo 3

Calculamos
r'(t)=\bigl(e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t),\;1\bigr),
r''(t)=\bigl(-2\,e^{t}\sin t,\;2\,e^{t}\cos t,\;0\bigr).
Em t=0 isso dá
r'(0)=(1,1,1),\quad r''(0)=(0,2,0).

Passo 4

O produto vetorial em t=0 é
r'(0)\times r''(0)=(-2,0,2),
com norma \|r'\times r''\|=2\sqrt2. Também \|r'(0)\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3.
Assim
\kappa(0) =\frac{2\sqrt2}{(\sqrt3)^{3}} =\frac{2\sqrt2}{3\sqrt3} =\frac{2\sqrt6}{9}.

Passo 5

O versor binormal é
B(0)=\frac{r'(0)\times r''(0)}{\|r'(0)\times r''(0)\|} =\frac{(-2,0,2)}{2\sqrt2} =\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\,0,\,\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).

Passo 6

O “plano binormal” tem normal dado por B(0) e passa por (1,0,0). Sua equação é
B(0)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,0,0)\bigr)=0,
ou seja
-\tfrac1{\sqrt2}(x-1)+\tfrac1{\sqrt2}\,z=0 \;\Longrightarrow\; -x+1+z=0 \;\Longrightarrow\; z=x-1.

Resposta

\displaystyle \kappa(0)=\frac{2\sqrt6}{9}.
Equação do plano binormal:
z = x - 1.

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