Ache a equação da esfera tendo como diâmetro o segmento de reta cujo extremos são os pontos (3,1,2) e (4,5,8).

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera que tem por diâmetro o segmento de reta com extremos A=(3,1,2) e B=(4,5,8). Para isso, vamos usar o fato de que o centro da esfera é o ponto médio de AB e o raio é metade da distância entre A e B.

Passo 2

Calculamos o ponto médio C=(x_0,y_0,z_0) de A e B por
x_0 = \frac{3+4}{2},\quad y_0 = \frac{1+5}{2},\quad z_0 = \frac{2+8}{2}
Logo,
C = \biggl(\frac{7}{2},\,3,\,5\biggr).

Passo 3

A distância AB é dada por
AB = \sqrt{(4-3)^2 + (5-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53}.
O raio da esfera é
r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{53}}{2},
portanto
r^2 = \frac{53}{4}.

Passo 4

A equação da esfera de centro C=(x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
Substituindo os valores obtidos:

Resposta

\biggl(x - \frac{7}{2}\biggr)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = \frac{53}{4}.

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