Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=(t, \cos (t), \operatorname{sen}(t)), \quad 0 \leq t ". "leq 2 \pi .

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva em \mathbb{R}^3 dada por
r(t) = \bigl(t,\;\cos(t),\;\operatorname{sen}(t)\bigr), \quad 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica, que usamos pela fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert \,dt.
Vamos precisar derivar cada componente de r(t), calcular a norma do vetor derivada e depois integrar essa norma de 0 a 2\pi.

Passo 2

Derivamos componente a componente para obter
r'(t) = \bigl(1,\;-\operatorname{sen}(t),\;\cos(t)\bigr).

Passo 3

Calculamos a norma de r'(t):
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1^2 + \bigl(-\operatorname{sen}(t)\bigr)^2 + \bigl(\cos(t)\bigr)^2} = \sqrt{1 + \operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de curva:
L = \int_{0}^{2\pi} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert \,dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2}\,dt.

Passo 5

Como \sqrt{2} é constante, a integral fica
L = \sqrt{2}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = \sqrt{2}\,(2\pi - 0) = 2\pi\sqrt{2}.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

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