Encontre a curvatura.
r(t)=lang<= t, 3 cos t, 3 sen trang<=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura kappa(t) da curva tridimensional dada por r(t)=lang<= t,,3cos t,,3sin trang<=. Esse é um problema de cálculo de curvas no espaço e vamos precisar das derivadas de r(t), do produto vetorial, da norma de vetores e da fórmula
kappa(t)=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
r'(t)=lang<= 1,,-3sin t,,3cos trang<=
e
r''(t)=lang<= 0,,-3cos t,,-3sin trang<=
Aqui usamos a regra de derivada de funções trigonométricas.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial, montamos o determinante
r'(t)timesr''(t)= i & j & k 1 & -3sin t & 3cos t 0 & -3cos t & -3sin t =lang<= 9,,3sin t,,-3cos trang<=

Passo 4

Agora calculamos as normas. Para o numerador:
|r'times r''| =raiz9^2+(3sin t)^2+(-3cos t)^2 =raiz81+9(sin^2 t+cos^2 t) =raiz90=3raiz10
Para o denominador:
|r'(t)| =raiz1^2+(-3sin t)^2+(3cos t)^2 =raiz1+9(sin^2 t+cos^2 t) =raiz10

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura:
kappa(t)=3raiz10(raiz10)^3 =3raiz1010raiz10 =310
Perceba que a curvatura é constante e igual a 3/10.

Resposta

kappa(t)=tfrac310

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