Utilizando a DEFINIÇÃO, encontre
no ponto e direção indicados.
Passo 1
O enunciado dá:
Pede-se encontrar o derivada direcional de
no ponto
na direção
, isto é
.
Passo 2
Vamos usar a definição da derivada direcional. A definição diz:
onde
é um vetor unitário (aqui
já tem norma 1) e
é um parâmetro real que nos aproxima do ponto
pela direção
. Explico as peças:
-
é o ponto obtido ao sair de no sentido de por distância . -
é o valor da função nesse ponto. - A razão
mede a variação média de por unidade de deslocamento; o limite quando dá a variação instantânea na direção .
Passo 3
Calculo as coordenadas de
. Como
e
,
Passo 4
Avalio
nesse ponto. Substituindo em
temos
Calculo o produto dentro do expoente passo a passo:
Multiplicando por
obtemos o expoente
Portanto
E
.
Passo 5
Agora aplico a definição:
com
. Note que
e que
é da forma
com
. Usando a expansão exponencial (linearização)
quando
, obtemos
Como
e
quando
, o limite é
Passo 6
(resumo e checagem rápida) Assim a derivada direcional vale
. Como checagem rápida — não exigida pela definição, mas útil para confiar no resultado — podemos usar a fórmula alternativa
. Calculando
, em
obtemos
. Fazendo o produto escalar com
dá
, coincidente com o resultado pela definição.