Encontre D_{u} f em P.
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y\right) ; P(0,0) ; u=-\frac{1}{\sqrt{10}} i-\frac{1}{\sqrt{10}} j

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u.
Informações dadas:
f(x,y)=\ln\!\bigl(1+x^{2}+y\bigr),
P=(0,0),
u=-\frac{1}{\sqrt{10}}\,\mathbf{i}-\frac{1}{\sqrt{10}}\,\mathbf{j}.

Passo 2

Definição e observação importante (sem calcular ainda): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor u é dada por
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \hat{u} é o vetor direção unitário (vetor de norma 1) associado a u. É obrigatório usar \hat{u} (ou seja, normalizar u) porque a derivada direcional mede a variação por unidade de comprimento na direção escolhida.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Usamos a regra da cadeia para \ln: se g(x,y)=1+x^{2}+y então \partial_{x}\ln g = \dfrac{\partial_{x}g}{g} e \partial_{y}\ln g = \dfrac{\partial_{y}g}{g}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x}{1+x^{2}+y},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y}.

Passo 4

Avaliar as parciais em P=(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{2\cdot 0}{1+0+0}=0,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\frac{1}{1+0+0}=1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,0)=\bigl(0,\,1\bigr).

Passo 5

Verificar se u já é unitário e, se não, normalizá-lo. A norma de u é
\|u\|=\sqrt{\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}} =\sqrt{\frac{1}{5}} =\frac{1}{\sqrt{5}}.
Como \|u\|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\neq 1, devemos usar
\hat{u}=\frac{u}{\|u\|}.
Calculando as componentes:
\hat{u}=\frac{1}{1/\sqrt{5}}\left(-\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) =\sqrt{5}\left(-\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
Simplificando \sqrt{5}/\sqrt{10}=\sqrt{\tfrac{5}{10}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, obtemos
\hat{u}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
D_{u}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot \hat{u} =(0,1)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =0\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+1\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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