Encontre
:
b)
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. Informações fornecidas:
Não há outras quantidades dadas nem valores numéricos; a tarefa é calcular a expressão da derivada em termos de
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
usando potências, porque fica muito mais fácil diferenciar assim. Lembre que a raiz cúbica e as potências fracionárias obedecem
portanto
Aqui
é a variável independente e
depende de
. Observação prática: a expressão está bem definida para
(a raiz cúbica de números reais existe, mas em
a função original é
e não faz sentido).
Passo 3
Agora a regra que vamos usar: a regra da potência. Ela diz que, para qualquer número real
,
O que isso significa na prática: para diferenciar uma potência, você “desce” o expoente como coeficiente e diminui o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: se
, então
. Se
, então
. A mesma regra vale para expoentes fracionários como
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência à função
, temos
Agora simplificamos o expoente:
portanto
Passo 5
Vamos também escrever a derivada em formas equivalentes que aparecem frequentemente em provas, para você reconhecer rápido. Convertendo
para forma de radical:
Assim uma forma comum da resposta é
Outra forma útil, decompondo
, é
Passo 6
Como checagem alternativa (útil na prova, caso você prefira ver por regra da cadeia): escreva
. Pela regra da cadeia,
Multiplicando os fatores:
e
. Então
que é exatamente o mesmo resultado obtido antes. Boa confirmação!
Passo 7
Dica rápida para a prova (meu conselho de colega): assim que vir uma raiz ou fração de potências, reescreva em potência
ou
com expoente negativo se for recíproco, aplique direto a regra da potência e simplifique o expoente. Evita erro e é rápido.