Encontre d y / d x :
b) y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. Informações fornecidas:
y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}.
Não há outras quantidades dadas nem valores numéricos; a tarefa é calcular a expressão da derivada em termos de x.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever y usando potências, porque fica muito mais fácil diferenciar assim. Lembre que a raiz cúbica e as potências fracionárias obedecem
\sqrt[3]{x^{4}}=(x^{4})^{1/3}=x^{4/3},
portanto
y=\frac{1}{x^{4/3}}=(x^{4/3})^{-1}=x^{-4/3}.
Aqui x é a variável independente e y depende de x. Observação prática: a expressão está bem definida para x\neq 0 (a raiz cúbica de números reais existe, mas em x=0 a função original é 1/0 e não faz sentido).

Passo 3

Agora a regra que vamos usar: a regra da potência. Ela diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa na prática: para diferenciar uma potência, você “desce” o expoente como coeficiente e diminui o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: se f(x)=x^{3}, então f'(x)=3x^{2}. Se f(x)=x^{1/2}, então f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}. A mesma regra vale para expoentes fracionários como -4/3.

Passo 4

Aplicando a regra da potência à função y=x^{-4/3}, temos
\frac{d y}{d x} = -\tfrac{4}{3}\,x^{-4/3-1}.
Agora simplificamos o expoente:
-\,\tfrac{4}{3}-1=-\tfrac{4}{3}-\tfrac{3}{3}=-\tfrac{7}{3},
portanto
\frac{d y}{d x} = -\tfrac{4}{3}\,x^{-7/3}.

Passo 5

Vamos também escrever a derivada em formas equivalentes que aparecem frequentemente em provas, para você reconhecer rápido. Convertendo x^{-7/3} para forma de radical:
x^{-7/3}=\frac{1}{x^{7/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}}}.
Assim uma forma comum da resposta é
\frac{d y}{d x}=-\frac{4}{3\sqrt[3]{x^{7}}}.
Outra forma útil, decompondo x^{7/3}=x^{2}\,x^{1/3}, é
\frac{d y}{d x}=-\frac{4}{3x^{2}\sqrt[3]{x}}.

Passo 6

Como checagem alternativa (útil na prova, caso você prefira ver por regra da cadeia): escreva y=(x^{4})^{-1/3}. Pela regra da cadeia,
\frac{d y}{d x}=-\tfrac{1}{3}(x^{4})^{-4/3}\cdot 4x^{3}.
Multiplicando os fatores: -\tfrac{1}{3}\cdot 4x^{3}=-\tfrac{4}{3}x^{3} e (x^{4})^{-4/3}=x^{-16/3}. Então
-\tfrac{4}{3}x^{3}\cdot x^{-16/3}=-\tfrac{4}{3}x^{9/3-16/3}=-\tfrac{4}{3}x^{-7/3},
que é exatamente o mesmo resultado obtido antes. Boa confirmação!

Passo 7

Dica rápida para a prova (meu conselho de colega): assim que vir uma raiz ou fração de potências, reescreva em potência x^{m/n} ou x^{k} com expoente negativo se for recíproco, aplique direto a regra da potência e simplifique o expoente. Evita erro e é rápido.

Resposta

-\dfrac{4}{3}x^{-7/3}

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