Encontre d y / d x :
c) y=\sqrt[3]{4 x-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em relação a x quando
y=\sqrt[3]{4x-1}.
Informações dadas:
y=\sqrt[3]{4x-1}=\text{o valor da função para cada }x.çã
O que devemos encontrar:
\frac{dy}{dx}=\text{a taxa de variação de }y\text{ em relação a }x.çãçã

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras de derivação: transformar a raiz em potência. A raiz cúbica corresponde ao expoente 1/3, então definimos
y=(4x-1)^{1/3}.
Explicação do porquê: a notação \sqrt[3]{\cdot} é o mesmo que elevar ao expoente 1/3. Ex.: \sqrt[3]{a}=a^{1/3}.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar — de forma intuitiva e sem pular passos:
  • Regra do poder (para uma função u^n, com n constante): a derivada em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^n\bigr)=n\,u^{n-1}.
Aqui u é a variável da função (pode ser x ou outra expressão), e n é o expoente.
  • Regra da cadeia (quando temos composição de funções): se y=f(u) e u=g(x), então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Isso significa: derivamos a função externa em relação à variável interna u e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a x.
Exemplo simples para fixar: se y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}, então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Repare que ao derivar x^{1/3} usamos a regra do poder com n=1/3.

Passo 4

Aplicando as ideias ao problema: façamos a substituição interina
u=4x-1,
de modo que
y=u^{1/3}.
Agora calculamos as derivadas parciais que a regra da cadeia pede:
  • Derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(4x-1)=4,
pois a derivada de 4x é 4 e a de -1 é 0.
  • Derivada de y em relação a u usando a regra do poder com n=1/3:
\frac{dy}{du}=\frac{1}{3}u^{1/3-1}=\frac{1}{3}u^{-2/3}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(\frac{1}{3}u^{-2/3}\right)\cdot 4 = \frac{4}{3}u^{-2/3}.
Voltando à variável x (substituindo u=4x-1):
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}(4x-1)^{-2/3}.

Passo 6

Podemos colocar a resposta em outra forma equivalente, às vezes mais clara:
(4x-1)^{-2/3}=\frac{1}{(4x-1)^{2/3}}=\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{4x-1}\,\bigr)^2},
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\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3\bigl(\sqrt[3]{4x-1}\,\bigr)^2}.
Observação sobre diferenciabilidade: em x=\tfrac{1}{4} temos 4x-1=0, o denominador fica 0 e a expressão da derivada explode (tende ao infinito), portanto a derivada não é finita em x=\tfrac{1}{4} — há uma tangente vertical ali. Para qualquer outro x a fórmula acima vale normalmente.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}(4x-1)^{-2/3}

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