Encontre
:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação a
quando
Informações dadas:
O que devemos encontrar:
Passo 2
Vamos reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras de derivação: transformar a raiz em potência. A raiz cúbica corresponde ao expoente
, então definimos
Explicação do porquê: a notação
é o mesmo que elevar ao expoente
. Ex.:
.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar — de forma intuitiva e sem pular passos:
- Regra do poder (para uma função
, com constante): a derivada em relação a é
Aqui
é a variável da função (pode ser
ou outra expressão), e
é o expoente.
- Regra da cadeia (quando temos composição de funções): se
e , então
Isso significa: derivamos a função externa em relação à variável interna
e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a
.
Exemplo simples para fixar: se , então
Exemplo simples para fixar: se
Repare que ao derivar
usamos a regra do poder com
.
Passo 4
Aplicando as ideias ao problema: façamos a substituição interina
de modo que
Agora calculamos as derivadas parciais que a regra da cadeia pede:
- Derivada de
em relação a :
pois a derivada de
é
e a de
é
.
- Derivada de
em relação a usando a regra do poder com :
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 6
Podemos colocar a resposta em outra forma equivalente, às vezes mais clara:
logo
Observação sobre diferenciabilidade: em
temos
, o denominador fica
e a expressão da derivada explode (tende ao infinito), portanto a derivada não é finita em
— há uma tangente vertical ali. Para qualquer outro
a fórmula acima vale normalmente.