Encontre
:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
para a função dada. Informações fornecidas:
A tarefa é calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro vamos decidir um caminho prático. Observação útil de álgebra de potências: para qualquer base
e expoentes
vale
. Aplicando isso aqui podemos reescrever a função de forma mais simples para derivar:
Reescrever assim nos permite usar a regra da potência composta uma única vez, o que economiza passos na prova.
Passo 3
Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Regra da potência composta: se
onde e é constante, então
Aqui
é a função interna e
é a derivada dela.
- Derivada da tangente: para
,
(Aqui
é a secante, definida como
.)
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência composta diretamente em
.
Tomando e
, temos por regra da potência composta:
Tomando
Calculemos os dois pedaços: o expoente
, e
. Substituindo:
Passo 5
Como verificação alternativa (opcional, mas bom para ganhar confiança): usar duas aplicações da cadeia começando por
e
.
- Primeiro,
. - Segundo,
(pois ).
Multiplicando:
o que coincide com o resultado anterior.
Passo 6
Resumo didático: usamos a propriedade de potências para simplificar a função, aplicamos a regra da potência composta (multiplicar pelo expoente e diminuir 1 no expoente) e a derivada da tangente (sec^2). Se na prova preferir não usar a simplificação direta, dá para aplicar a cadeia duas vezes e chegar ao mesmo resultado.