Encontre d y / d x :
d) y=\left(\operatorname{tg}^{3} x\right)^{4 / 5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} para a função dada. Informações fornecidas:
y=\left(\operatorname{tg}^{3} x\right)^{4/5}.
A tarefa é calcular a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Primeiro vamos decidir um caminho prático. Observação útil de álgebra de potências: para qualquer base a e expoentes b,c vale (a^{b})^{c}=a^{bc}. Aplicando isso aqui podemos reescrever a função de forma mais simples para derivar:
y=\left(\operatorname{tg}^{3} x\right)^{4/5}=\operatorname{tg}^{\,3\cdot\frac{4}{5}}x=\operatorname{tg}^{12/5}x.
Reescrever assim nos permite usar a regra da potência composta uma única vez, o que economiza passos na prova.

Passo 3

Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Regra da potência composta: se y=u^{n} onde u=u(x) e n é constante, então
\frac{dy}{dx}=n\,u^{\,n-1}\frac{du}{dx}.
Aqui u é a função interna e \frac{du}{dx} é a derivada dela.
  • Derivada da tangente: para u(x)=\operatorname{tg}x,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x.
(Aqui \operatorname{sec} x é a secante, definida como \operatorname{sec} x=1/\cos x.)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência composta diretamente em \displaystyle y=\operatorname{tg}^{12/5}x.
Tomando u(x)=\operatorname{tg}x e n=\dfrac{12}{5}, temos por regra da potência composta:
\frac{dy}{dx}=\frac{12}{5}\,\operatorname{tg}^{\,\frac{12}{5}-1}x\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big).
Calculemos os dois pedaços: o expoente \dfrac{12}{5}-1=\dfrac{12}{5}-\dfrac{5}{5}=\dfrac{7}{5}, e \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{12}{5}\,\operatorname{tg}^{7/5}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Como verificação alternativa (opcional, mas bom para ganhar confiança): usar duas aplicações da cadeia começando por u=\operatorname{tg}^{3}x e y=u^{4/5}.
  • Primeiro, \dfrac{dy}{du}=\dfrac{4}{5}u^{-1/5}.
  • Segundo, \dfrac{du}{dx}=3\operatorname{tg}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x (pois u=(\operatorname{tg}x)^{3}).
    Multiplicando:
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{5}u^{-1/5}\cdot 3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x =\frac{12}{5}\,\operatorname{tg}^{-3/5}x\cdot\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x =\frac{12}{5}\,\operatorname{tg}^{7/5}x\operatorname{sec}^{2}x,
o que coincide com o resultado anterior.

Passo 6

Resumo didático: usamos a propriedade de potências para simplificar a função, aplicamos a regra da potência composta (multiplicar pelo expoente e diminuir 1 no expoente) e a derivada da tangente (sec^2). Se na prova preferir não usar a simplificação direta, dá para aplicar a cadeia duas vezes e chegar ao mesmo resultado.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{12}{5}\,\operatorname{tg}^{7/5}x\;\operatorname{sec}^{2}x

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