A equação
define
implicitamente como uma função de
.
a) Derive a equação implicitamente para obter
.
b) Confirme que o resultado em (a) confere com o resultado obtido resolvendo a equação dada para
como uma função explícita de
e então derivando.
a) Derive a equação implicitamente para obter
b) Confirme que o resultado em (a) confere com o resultado obtido resolvendo a equação dada para
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- (a) Derivar implicitamente para obter
. - (b) Resolver para
como função explícita de e derivar, confirmando que o resultado coincide com (a).
Informações relevantes fornecidas:
(portanto
e
, já que o produto é
).
As duas formas de obter devem ser feitas: por diferenciação implícita e por derivação da forma explícita
.
As duas formas de obter
Passo 2
Conceito essencial antes de começar: o que significa derivar implicitamente.
Quando temos uma relação entre e
que não isola
(como
), tratamos
como função de
(ou seja,
) e diferenciamos ambos os lados em relação a
. Sempre que diferenciarmos uma expressão envolvendo
, usamos a regra da cadeia: a derivada de uma função de
em relação a
é a derivada em relação a
multiplicada por
. Também vamos usar a regra do produto quando necessário.
Quando temos uma relação entre
Passo 3
Aplicando diferenciação em ambos os lados da igualdade
, com respeito a
.
Identificamos um produto:
e
. A regra do produto diz:
Aqui
.
Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
Agora aplicamos a regra do produto:
Como o lado direito da equação original é constante
, sua derivada é
. Assim obtemos:
Passo 4
Isolando
na equação obtida.
Começamos por mover
para o outro lado:
Agora dividimos ambos os lados por
. Lembre-se que
e
(vindos da equação original), então a divisão é válida:
Simplificando
, obtemos o resultado pela via implícita:
Passo 5
Agora fazemos a parte (b): resolver explicitamente e derivar para confirmar.
Da equação
isolamos
:
Tirando a raiz cúbica (escolhendo a raiz cúbica real), obtemos:
com a observação do domínio
. (A raiz cúbica real existe para todo
, positiva ou negativa.)
Passo 6
Diferenciando a forma explícita
usando a regra de potência:
A regra de potência diz que, para , temos
.
Aplicando com :
A regra de potência diz que, para
Aplicando com
Portanto pela via explícita obtemos
Passo 7
Mostrar que as duas expressões são equivalentes (confirmação).
Da derivada implícita temos
. Substituindo
nessa expressão:
que é exatamente a derivada obtida pela via explícita. Portanto ambas conferem.
Como checagem numérica rápida (só para ficar mais seguro): escolha
. Então
.
A derivada implícita dá .
A derivada explícita dá .
Coincidem, ótimo!
A derivada implícita dá
A derivada explícita dá
Coincidem, ótimo!
Resposta
(a)
(b)
(que é igual a
usando
).