A equação x y^{3}=1 define y implicitamente como uma função de x.
a) Derive a equação implicitamente para obter d y / d x.
b) Confirme que o resultado em (a) confere com o resultado obtido resolvendo a equação dada para y como uma função explícita de x e então derivando.

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x\,y^{3}=1\; e pede duas coisas:
  1. (a) Derivar implicitamente para obter \dfrac{dy}{dx}.
  2. (b) Resolver para y como função explícita de x e derivar, confirmando que o resultado coincide com (a).
Informações relevantes fornecidas:
\;x\,y^{3}=1\; (portanto x\neq 0 e y\neq 0, já que o produto é 1).
As duas formas de obter \dfrac{dy}{dx} devem ser feitas: por diferenciação implícita e por derivação da forma explícita y(x).

Passo 2

Conceito essencial antes de começar: o que significa derivar implicitamente.
Quando temos uma relação entre x e y que não isola y (como \;x\,y^{3}=1\;), tratamos y como função de x (ou seja, y=y(x)) e diferenciamos ambos os lados em relação a x. Sempre que diferenciarmos uma expressão envolvendo y, usamos a regra da cadeia: a derivada de uma função de y em relação a x é a derivada em relação a y multiplicada por dy/dx. Também vamos usar a regra do produto quando necessário.

Passo 3

Aplicando diferenciação em ambos os lados da igualdade \;x\,y^{3}=1\;, com respeito a x.
Identificamos um produto: u(x)=x e v(x)=y^{3}. A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u'= \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Para v=\;y^{3} usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{3} em relação a x é
\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.
Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\,y^{3}\big)=1\cdot y^{3} + x\cdot\big(3y^{2}\frac{dy}{dx}\big).
Como o lado direito da equação original é constante 1, sua derivada é 0. Assim obtemos:
y^{3} + 3x\,y^{2}\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação obtida.
Começamos por mover y^{3} para o outro lado:
3x\,y^{2}\frac{dy}{dx} = -\,y^{3}.
Agora dividimos ambos os lados por 3x\,y^{2}. Lembre-se que x\neq 0 e y\neq 0 (vindos da equação original), então a divisão é válida:
\frac{dy}{dx} = \frac{-\,y^{3}}{3x\,y^{2}}.
Simplificando y^{3}/y^{2}=y, obtemos o resultado pela via implícita:
\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{3x}.}

Passo 5

Agora fazemos a parte (b): resolver explicitamente e derivar para confirmar.
Da equação \;x\,y^{3}=1\; isolamos y^{3}:
y^{3} = \frac{1}{x}.
Tirando a raiz cúbica (escolhendo a raiz cúbica real), obtemos:
y = \left(\frac{1}{x}\right)^{1/3} = x^{-1/3},
com a observação do domínio x\neq 0. (A raiz cúbica real existe para todo x, positiva ou negativa.)

Passo 6

Diferenciando a forma explícita y = x^{-1/3} usando a regra de potência:
A regra de potência diz que, para \;x^{n}\;, temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando com n=-\tfrac{1}{3}:
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{3}\,x^{-1/3 - 1} = -\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3}.
Portanto pela via explícita obtemos
\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}\,x^{-4/3}.}

Passo 7

Mostrar que as duas expressões são equivalentes (confirmação).
Da derivada implícita temos \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{3x}. Substituindo y=x^{-1/3} nessa expressão:
-\frac{y}{3x} = -\frac{x^{-1/3}}{3x} = -\frac{1}{3}\,x^{-1/3-1} = -\frac{1}{3}\,x^{-4/3},
que é exatamente a derivada obtida pela via explícita. Portanto ambas conferem.
Como checagem numérica rápida (só para ficar mais seguro): escolha x=8. Então y=(1/8)^{1/3}=1/2.
A derivada implícita dá -\dfrac{y}{3x} = -\dfrac{1/2}{3\cdot 8} = -\dfrac{1}{48}.
A derivada explícita dá -\dfrac{1}{3}x^{-4/3} = -\dfrac{1}{3}\cdot 8^{-4/3} = -\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{16} = -\dfrac{1}{48}.
Coincidem, ótimo!

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{3x}.
(b) \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}\,x^{-4/3} (que é igual a -\dfrac{y}{3x} usando y=x^{-1/3}).

Exercícios relacionados