Para as curvas paramétricas dadas, encontre os pontos onde a tangente é:
Horizontal e vertical: x=t^{3}-3 t, y=t^{2}-4
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t^{3} - 3t,\qquad y = t^{2} - 4,
e pede: encontrar os pontos onde a tangente à curva é horizontal e onde é vertical.
Informações relevantes que temos do enunciado:
As coordenadas de um ponto na curva são dadas por x(t) e y(t) para cada parâmetro t.
Precisamos determinar valores de t que geram tangentes horizontais e verticais e então calcular as coordenadas \bigl(x(t),y(t)\bigr) desses t.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
A inclinação (coeficiente angular) da tangente a uma curva dada por parámetro t é a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Para curvas paramétricas usamos a regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}, desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
Aqui \dfrac{dy}{dt} significa a derivada de y em relação a t e \dfrac{dx}{dt} a derivada de x em relação a t.
Condições para tangente horizontal/vertical:
Tangente horizontal: queremos que a inclinação seja zero, isto é \dfrac{dy}{dx}=0. Isso geralmente ocorre quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
Tangente vertical: a inclinação “explodiria” (reta vertical), isto é \dfrac{dx}{dt}=0 com \dfrac{dy}{dt}\neq 0.
Observação: se tanto \dfrac{dx}{dt}=0 quanto \dfrac{dy}{dt}=0 num mesmo t, é um caso singular (pode ser cuspide, ponto de inflexão vertical/horizontal ambíguo) e precisaríamos investigar derivadas de ordem superior. Aqui vamos verificar esse caso se ele ocorrer.
Portanto há tangentes verticais nos pontos \bigl(-2,-3\bigr) e \bigl(2,-3\bigr).
Passo 6
Verificação final de casos singulares:
Não existe t tal que simultaneamente \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0, pois \dfrac{dy}{dt}=0 dá t=0 e aí \dfrac{dx}{dt}=-3\neq0. Logo não há caso singular a investigar.