Para as curvas paramétricas dadas, encontre os pontos onde a tangente é:
Horizontal e vertical: x=t^{3}-3 t, y=t^{2}-4

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t^{3} - 3t,\qquad y = t^{2} - 4,
e pede: encontrar os pontos onde a tangente à curva é horizontal e onde é vertical.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As coordenadas de um ponto na curva são dadas por x(t) e y(t) para cada parâmetro t.
  • Precisamos determinar valores de t que geram tangentes horizontais e verticais e então calcular as coordenadas \bigl(x(t),y(t)\bigr) desses t.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • A inclinação (coeficiente angular) da tangente a uma curva dada por parámetro t é a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Para curvas paramétricas usamos a regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}, desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
    • Aqui \dfrac{dy}{dt} significa a derivada de y em relação a t e \dfrac{dx}{dt} a derivada de x em relação a t.
  • Condições para tangente horizontal/vertical:
    • Tangente horizontal: queremos que a inclinação seja zero, isto é \dfrac{dy}{dx}=0. Isso geralmente ocorre quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
    • Tangente vertical: a inclinação “explodiria” (reta vertical), isto é \dfrac{dx}{dt}=0 com \dfrac{dy}{dt}\neq 0.
  • Observação: se tanto \dfrac{dx}{dt}=0 quanto \dfrac{dy}{dt}=0 num mesmo t, é um caso singular (pode ser cuspide, ponto de inflexão vertical/horizontal ambíguo) e precisaríamos investigar derivadas de ordem superior. Aqui vamos verificar esse caso se ele ocorrer.

Passo 3

Calcular as derivadas em relação a t:
  • Derivada de x:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t\bigr) = 3t^{2}-3.
  • Derivada de y:
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-4\bigr) = 2t.
Fatorando \dfrac{dx}{dt} para facilitar:
\frac{dx}{dt} = 3(t^{2}-1)=3(t-1)(t+1).

Passo 4

Encontrar tangentes horizontais:
  • Condição: \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq 0.
  • Resolver \dfrac{dy}{dt}=2t=0 \Rightarrow t=0.
  • Verificar \dfrac{dx}{dt} em t=0:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0} = 3(0^{2}-1)= -3 \neq 0,
portanto a condição para tangente horizontal está satisfeita em t=0.
  • Calcular as coordenadas do ponto em t=0:
x(0)=0^{3}-3\cdot 0=0,\qquad y(0)=0^{2}-4=-4.
Logo há uma tangente horizontal no ponto \bigl(0,-4\bigr).

Passo 5

Encontrar tangentes verticais:
  • Condição: \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq 0.
  • Resolver \dfrac{dx}{dt}=3(t^{2}-1)=0 \Rightarrow t^{2}=1 \Rightarrow t=\pm 1.
  • Verificar \dfrac{dy}{dt} em cada caso:
    • Para t=1: \dfrac{dy}{dt}=2\cdot 1=2\neq 0. Condição satisfeita.
    • Para t=-1: \dfrac{dy}{dt}=2\cdot(-1)=-2\neq 0. Condição satisfeita.
  • Calcular as coordenadas:
    • Para t=1:
    x(1)=1^{3}-3\cdot1=1-3=-2,\qquad y(1)=1^{2}-4=1-4=-3.
    • Para t=-1:
    x(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2,\qquad y(-1)=(-1)^{2}-4=1-4=-3.
Portanto há tangentes verticais nos pontos \bigl(-2,-3\bigr) e \bigl(2,-3\bigr).

Passo 6

Verificação final de casos singulares:
  • Não existe t tal que simultaneamente \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0, pois \dfrac{dy}{dt}=0 t=0 e aí \dfrac{dx}{dt}=-3\neq0. Logo não há caso singular a investigar.

Resposta

Horizontal: (0,-4)
Vertical: (-2,-3), (2,-3)

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