Pergunta 14 0,5 pts
Determine a solução geral da EDO 2 y^prime prime(t)-4 y^prime(t)-6 y(t)=3 e^2 t.
y(t)=c1 e^3 t+c2 e^-t+2 e^2 t
y(t)=c1 e^3 t+c2 e^-t-12 e^2 t
Nenhuma das outras alternativas.
y(t)=c1 e^-3 t+c2 e^t-12 e^2 t
y(t)=c1 e^-3 t+c2 e^t+2 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y''(t)-4,y'(t)-6,y(t)=3,e^2t
Para resolver, vamos decompor a solução em y(t)=yh(t)+yp(t), onde yh é a solução geral da equação homogênea associada e yp é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

A equação homogênea é
2,y''-4,y'-6,y=0
Assumimos yh=e^r t, o que leva à equação característica
2r^2-4r-6=0 Longrightarrow r^2-2r-3=0 Longrightarrow (r-3)(r+1)=0
Assim, r=3 ou r=-1 e
yh(t)=c1e^3t+c2e^-t

Passo 3

Para encontrar yp, usamos método dos coeficientes a determinar. O termo não homogêneo é 3e^2t. Como e^2t não aparece na solução homogênea, tentamos
yp(t)=A,e^2t
Calculamos
yp'=2A,e^2t, yp''=4A,e^2t,
e substituímos na EDO:
2(4A,e^2t)-4(2A,e^2t)-6(A,e^2t) =(8A-8A-6A)e^2t =-6A,e^2t
deve ser igual a 3e^2t. Logo
-6A=3 Longrightarrow A=-tfrac12
Portanto
yp(t)=-tfrac12,e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma
y(t)=yh(t)+yp(t) =c1e^3t+c2e^-t-tfrac12,e^2t

Resposta

y(t)=c1e^3t+c2e^-t-tfrac12e^2t

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