Encontre a derivada da função.
f(x)=\left[x+\left(x+\sin ^{2} x\right)^{3}\right]^{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl[x+\bigl(x+\sin^2 x\bigr)^{3}\bigr]^{4}.
Aqui vamos usar principalmente a regra da cadeia (para funções compostas) e a regra da soma. Primeiro identificamos as camadas de funções compostas.

Passo 2

Definimos
u(x)=x+\bigl(x+\sin^2 x\bigr)^{3},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{4}.
Aplicando a regra da cadeia ao elevar u(x) à quarta potência, temos
f'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\cdot u'(x).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Como
u(x)=x + \bigl(v(x)\bigr)^{3},
em que
v(x)=x+\sin^2 x,
aplicamos a soma e, na parte (v(x))^3, a regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}[x] + \frac{d}{dx}\bigl(v(x)\bigr)^{3} =1 + 3\bigl(v(x)\bigr)^{2}\cdot v'(x).

Passo 4

Falta agora v'(x) para v(x)=x+\sin^2 x. Pela soma e regra da cadeia em \sin^2 x=(\sin x)^2:
v'(x)=\frac{d}{dx}[x] + \frac{d}{dx}[\sin^2 x] =1 + 2\,\sin x\cdot\cos x =1 + \sin(2x).

Passo 5

Substituindo v(x) e v'(x) em u'(x) e depois em f'(x), obtemos
u'(x)=1 + 3\bigl(x+\sin^2 x\bigr)^{2}\,\bigl(1+\sin(2x)\bigr),
f'(x)=4\bigl[x+(x+\sin^2 x)^{3}\bigr]^{3}\;\Bigl[1 + 3\bigl(x+\sin^2 x\bigr)^{2}\,\bigl(1+\sin(2x)\bigr)\Bigr].

Resposta

f'(x)=4\bigl[x+(x+\sin^2 x)^{3}\bigr]^{3}\Bigl[1 + 3\bigl(x+\sin^2 x\bigr)^{2}\bigl(1+\sin(2x)\bigr)\Bigr].

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