Encontre d y / d x por derivação implícita.
e^{y} \operatorname{sen} x-x+x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{y}\sin x - x + x\,y = 0
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia nos termos que envolvem y.

Passo 2

Diferenciando termo a termo em relação a x:
  • Em e^{y}\sin x, usamos produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\,\frac{dy}{dx}\,\sin x \;+\; e^{y}\cos x.
  • Em -x:
\frac{d}{dx}(-x) = -1.
  • Em x\,y, usamos produto:
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,\frac{dy}{dx} + y.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando a zero:
e^{y}\frac{dy}{dx}\sin x + e^{y}\cos x \;-\;1 \;+\; x\frac{dy}{dx} + y = 0.

Passo 4

Agrupando os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os termos livres:
\frac{dy}{dx}\bigl(e^{y}\sin x + x\bigr) \;+\;\bigl(e^{y}\cos x -1 + y\bigr)=0.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\bigl(e^{y}\sin x + x\bigr) = -\bigl(e^{y}\cos x -1 + y\bigr) = 1 - e^{y}\cos x - y.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}\cos x - y}{\,e^{y}\sin x + x\,}.

Exercícios relacionados