Nos Exercícios de 7 a 12, ache \frac{d y}{d x} e \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, sem eliminar o parâmetro.
x=3 t, y=2 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas
x = 3t,
y = 2t^2
e pede as derivadas \frac{dy}{dx} e \frac{d^2y}{dx^2} em função do parâmetro t, sem eliminar t. O conteúdo aqui é diferenciação paramétrica, onde usamos as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Para obter \frac{dy}{dx} usamos a regra
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Calculando cada derivada em relação a t:
\frac{dx}{dt} = 3,
\frac{dy}{dt} = 4t.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{4t}{3}.

Passo 3

Para encontrar \frac{d^2y}{dx^2} aplicamos a definição
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr) = \frac{\frac{d}{dt}\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)}{\frac{dx}{dt}}.
Como \frac{dy}{dx} = \frac{4t}{3}, temos
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{4t}{3}\Bigr) = \frac{4}{3}.
Dividindo por \frac{dx}{dt}=3, obtemos
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4t}{3},\quad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{4}{9}.

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