(a) Se x^{2}+y^{2}=25, encontre \frac{d y}{d x}.
(b) Encontre uma equaçio da tangente ao círculo x^{2}+y^{2}-25 no ponto ( 3,4 ).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita \;x^{2}+y^{2}=25, pede (a) a derivada \frac{dy}{dx} usando diferenciação implícita e (b) a equação da reta tangente ao círculo no ponto (3,4). Vamos primeiro diferenciar implicitamente e depois usar o resultado para achar o coeficiente angular e montar a reta.

Passo 2

Diferenciando \;x^{2}+y^{2}=25 em relação a x usando que \frac{d}{dx}(y^{2})=2y\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}(25)=0, obtemos
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx} na equação acima, temos
2y\,\frac{dy}{dx} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.

Passo 4

Para o ponto (3,4), o coeficiente angular da tangente é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}.

Passo 5

Usando a forma ponto–inclinação y - y_{0} = m(x - x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(3,4) e m=-\frac{3}{4}, a reta tangente é
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
(b) \displaystyle y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3).

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