Encontre d y / d x por derivação implícita.
x e^{y}-x-y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x e^{y} - x - y = 0
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
  • Para x e^{y}, uso produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{y}\bigr) = x\frac{d}{dx}(e^{y}) + e^{y}\frac{d}{dx}(x) = x e^{y}\,\frac{dy}{dx} + e^{y}.
  • Para -x, \tfrac{d}{dx}(-x) = -1.
  • Para -y, \tfrac{d}{dx}(-y) = -\frac{dy}{dx}.
Somando tudo e igualando a zero:
x e^{y}\,\frac{dy}{dx} + e^{y} - 1 - \frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \tfrac{dy}{dx}:
x e^{y}\,\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - e^{y}.
Fatorando \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\,\bigl(x e^{y} - 1\bigr) = 1 - e^{y}.

Passo 4

Isolando \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} - 1}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} - 1}.

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