Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região contornada pelas curvas y=1 / x, y=1 e y=2 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=1/x, y=1 e y=2. Isso é um problema de volume de revolução por discos, então vou cortar fatias perpendiculares ao eixo y e integrar em y.

Passo 2

Da curva y=1/x isolamos x. Temos
x=1y
Logo, para cada y entre 1 e 2, a região vai de x=0 (eixo y) até x=1/y.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo y, cada fatia em altura y gera um disco de raio r(y)=1/y. A área desse disco é
A(y)=pil(r(y)r)^2=pil(1yr)^2

Passo 4

O volume total é a soma (integral) dessas áreas de y=1 até y=2:
V=integral1^2A(y),dy=piintegral1^2y^-2,dy

Passo 5

Basta calcular a integral:
integral1^2y^-2,dy=l[-y^-1r]1^2=-tfrac12+1=tfrac12

Passo 6

Multiplicando por pi, obtemos o volume.

Resposta

dfracpi2

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