Encontre as derivadas parciais de:
f(x, y)=x^2y^2+1-y^2x^2+y

Passo 1

Temos a função f(x, y)=x^2y^2+1-y^2x^2+y. O conteúdo aqui é derivadas parciais, e vamos precisar da regra do quociente para cada termo, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para achar fx, derivamos cada termo em relação a x. No primeiro termo x^2y^2+1, o numerador varia e o denominador é constante, logo
partialpartial xl(x^2y^2+1r)=2x,(y^2+1)-x^2cdot 0(y^2+1)^2=2xy^2+1

Passo 3

No segundo termo -y^2x^2+y, o numerador é constante e aplicamos a regra do quociente:
partialpartial xl(-y^2x^2+yr)=-0cdot(x^2+y)-y^2cdot 2x(x^2+y)^2=2x,y^2(x^2+y)^2

Passo 4

Somando ambos, obtemos
fx=2xy^2+1+2x,y^2(x^2+y)^2

Passo 5

Agora para fy, derivamos em relação a y. No primeiro termo temos numerador constante e denominador variável:
partialpartial yl(x^2y^2+1r)=0cdot(y^2+1)-x^2cdot 2y(y^2+1)^2=-2x^2y(y^2+1)^2

Passo 6

No segundo termo -y^2x^2+y, ambos variam, então
partialpartial yl(-y^2x^2+yr)=-2y,(x^2+y)-y^2cdot 1(x^2+y)^2=-2yx^2+y^2(x^2+y)^2

Passo 7

Somando os dois resultados, fica
fy=-2x^2y(y^2+1)^2-2x^2y+y^2(x^2+y)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
fx=2xy^2+1+2x,y^2(x^2+y)^2,
fy=-2x^2y(y^2+1)^2-2x^2y+y^2(x^2+y)^2

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