Encontre d y / d x implicitamente.
x y^3=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de $ y $ em relação a $ x $ de forma implícita na equação $ x y^{3} = 1 $. Vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivação implícita, que é útil quando $ y $ não está isolado. Para isso, precisamos lembrar de algumas regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
x y^3 = 1
Queremos encontrar $ \frac{dy}{dx} $, então vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $.

Passo 3

Aplicando a derivada ao lado esquerdo, temos um produto de duas funções: $ x $ e $ y^{3} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Nesse caso, $ u = x $ e $ v = y^{3} $.
Derivando $ x $:
x
Derivando $ y^{3} $ usando a regra da cadeia:
y^3

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
ddx(x y^3) = 1 cdot y^3 + x cdot 3 y^2 cdot dydx
Simplificando:
y^3 + 3 x y^2 dydx

Passo 5

Derivando o lado direito da equação original, que é 1:
ddx(1) = 0

Passo 6

Juntando as derivadas dos dois lados:
y^3 + 3 x y^2 dydx = 0
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 7

Dividindo ambos os lados por $ 3 x y^{2} $ para resolver para $ \frac{dy}{dx} $:
3 x y^2
Simplificando a expressão:
dydx

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

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