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implicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de $ y $ em relação a $ x $ de forma implícita na equação $ x y^{3} = 1 $. Vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivação implícita, que é útil quando $ y $ não está isolado. Para isso, precisamos lembrar de algumas regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Queremos encontrar $ \frac{dy}{dx} $, então vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Passo 3
Aplicando a derivada ao lado esquerdo, temos um produto de duas funções: $ x $ e $ y^{3} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Nesse caso, $ u = x $ e $ v = y^{3} $.
Derivando $ x $:
Derivando $ y^{3} $ usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação original, que é 1:
Passo 6
Juntando as derivadas dos dois lados:
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ 3 x y^{2} $ para resolver para $ \frac{dy}{dx} $:
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: