Se R(t)=(3 t^2-t) i+(2-6 t) j-4 t k, achar:
integral1^3 R(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de R(t) = (3t^2 - t)i + (2 - 6t)j - 4tk de t=1 até t=3. Esse é um problema de cálculo de funções vetoriais, em que vamos usar integração componente a componente.

Passo 2

A teoria diz que, se R(t) = Rx(t)i + Ry(t)j + Rz(t)k, então
integrala^b R(t),dt = l(integrala^b Rx(t),dtr)i + l(integrala^b Ry(t),dtr)j + l(integrala^b Rz(t),dtr)k
Vamos aplicar isso.

Passo 3

Primeiro, integramos o componente x. A primitiva é:
integral (3t^2 - t),dt = t^3 - t^22
Avaliando de t=1 a t=3: em t=3 fica
27 - 92 = 452 e em t=1 fica 1 - tfrac12 = tfrac12. A diferença é
tfrac452 - tfrac12 = 22.

Passo 4

Agora, integramos o componente y. A primitiva é:
integral (2 - 6t),dt = 2t - 3t^2
Avaliando de 1 a 3: em t=3 fica 6 - 27 = -21 e em t=1 fica 2 - 3 = -1. A diferença é -21 - (-1) = -20.

Passo 5

Por fim, integramos o componente z. A primitiva é:
integral (-4t),dt = -2t^2
Avaliando de 1 a 3: em t=3 fica -18 e em t=1 fica -2. A diferença é -18 - (-2) = -16.

Passo 6

Somando as três componentes, obtemos
integral1^3 R(t),dt = 22i - 20j - 16k .

Resposta

22i - 20j - 16k

Exercícios relacionados