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implicitamente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada implícita! A gente tem a equação:
Esse problema está na matéria de Cálculo, especificamente em derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivada para funções que estão misturadas, ou seja, onde $ y $ depende de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a derivação. Vamos colocar tudo de um lado igual a zero:
Ficou assim:
Agora, nossa função está pronta para aplicar a derivada implícita.
Passo 3
Vamos derivar cada termo em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é função de $ x $, então sempre que derivarmos $ y $, precisamos multiplicar pela $ \frac{dy}{dx} $.
Derivando termo a termo:
- Derivada de $ y $ é $ \frac{dy}{dx} $
- Derivada de $ -x^{2} y $ usando a regra do produto: $ -2x y - x^{2} \frac{dy}{dx} $
- Derivada de $ -3x y^{3} $ também usando a regra do produto: $ -3 y^{3} - 9x y^{2} \frac{dy}{dx} $
- Derivada de $ x $ é $ 1 $
- Derivada de $ -3 $ é $ 0 $
Então, após derivar:
Passo 4
Agora, vamos coletar os termos que têm $ \frac{dy}{dx} $ de um lado e o restante do outro:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ no lado esquerdo:
Passo 5
Finalmente, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Resposta
A derivada implícita $ \frac{dy}{dx} $ é: