Encontre d y / d x implicitamente
y=x^2 y+3 x y^3-x=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada implícita! A gente tem a equação:
y = x^2 y + 3x y^3 - x = 3
Esse problema está na matéria de Cálculo, especificamente em derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivada para funções que estão misturadas, ou seja, onde $ y $ depende de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a derivação. Vamos colocar tudo de um lado igual a zero:
y - x^2 y - 3x y^3 + x - 3 = 0
Ficou assim:
y - x^2 y - 3x y^3 + x - 3 = 0
Agora, nossa função está pronta para aplicar a derivada implícita.

Passo 3

Vamos derivar cada termo em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é função de $ x $, então sempre que derivarmos $ y $, precisamos multiplicar pela $ \frac{dy}{dx} $.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de $ y $ é $ \frac{dy}{dx} $
  • Derivada de $ -x^{2} y $ usando a regra do produto: $ -2x y - x^{2} \frac{dy}{dx} $
  • Derivada de $ -3x y^{3} $ também usando a regra do produto: $ -3 y^{3} - 9x y^{2} \frac{dy}{dx} $
  • Derivada de $ x $ é $ 1 $
  • Derivada de $ -3 $ é $ 0 $
Então, após derivar:
x

Passo 4

Agora, vamos coletar os termos que têm $ \frac{dy}{dx} $ de um lado e o restante do outro:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ no lado esquerdo:
dydx - x^2 dydx - 9x y^2 dydx = 2x y + 3 y^3 - 1

Passo 5

Finalmente, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
dydx

Resposta

A derivada implícita $ \frac{dy}{dx} $ é:
dydx

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