Cálcule a derivada
f(x)=ln (1-x e^-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=lnl(1 - x e^-xr). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções logarítmicas, além de conhecermos a derivada de um produto e de e^-x.

Passo 2

Definimos g(x)=1 - x e^-x. Para usar a regra da cadeia, precisamos de g'(x). Aplicando a regra do produto em x e^-x temos
ddxl(x e^-xr)=1cdot e^-x+xcdot(-e^-x)=e^-x(1-x)
Logo,
g'(x)=ddxl(1 - x e^-xr)=-ddxl(x e^-xr)=-e^-x(1-x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=ln(g(x)):
f'(x)=g'(x)g(x)=-e^-x(1-x)1 - x e^-x
Podemos notar que -!(1-x)=x-1, ficando:
f'(x)=(x-1)e^-x1 - x e^-x

Resposta

f'(x)=dfrac(x-1)e^-x1 - x e^-x

Exercícios relacionados