Encontre
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Sabemos que $ x $ e $ y $ são funções de uma outra variável, $ t $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que permite encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ x $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dx}{dt} $.
Temos que:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de $ \sqrt{t} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{t}} $.
- A derivada de $ -t $ é $ -1 $.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dy}{dt} $.
Temos que:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ t^3 $ é $ 3t^2 $.
- A derivada de $ -t $ é $ -1 $.
Então:
Passo 4
Agora, usamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dy}{dx} $:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar se necessário, mas essa é a expressão geral para $ \frac{dy}{dx} $.
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: