Encontre f^{\prime}(x).
f(x)=\frac{4}{\left(3 x^{2}-2 x+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{4}{\left(3x^{2}-2x+1\right)^{3}}
e pede para encontrar f^{\prime}(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador constante: 4.
  • Denominador: \left(3x^{2}-2x+1\right)^{3}.
  • Objetivo: calcular \,f^{\prime}(x)\,.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função usando expoente negativo para ficar mais fácil aplicar regras de derivação. Usando \dfrac{1}{u^{3}}=u^{-3}, obtemos:
f(x)=4\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}.

Passo 3

Agora uma mini-aula: as regras que vamos usar.
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) função, então \dfrac{d}{dx}\bigl[c\cdot g(x)\bigr]=c\cdot g'(x). Aqui c=4.
  • Regra da potência composta (combinação da regra da potência com a regra da cadeia): se u(x) é uma função e n é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Explicando as letras:
  • u(x) é a função interna (a expressão que está elevada a n);
  • n é o expoente (aqui n=-3);
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    Exemplo simples: se h(x)=(2x+1)^{5}, então h'(x)=5(2x+1)^{4}\cdot(2), porque a derivada de 2x+1 é 2.

Passo 4

Aplique as regras ao nosso caso. Tome u(x)=3x^{2}-2x+1 e n=-3. Pela regra do fator constante e pela regra da potência composta:
f'(x)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{-3}\bigr) =4\cdot\bigl(-3\bigr)\,u(x)^{-4}\cdot u'(x).
Agora calcule u'(x). Como u(x)=3x^{2}-2x+1, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}(1) =6x-2+0=6x-2.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=4\cdot(-3)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}\cdot(6x-2).

Passo 5

Agora simplificar os coeficientes e a expressão para ficar num formato bonito. Primeiro simplificar o produto de constantes:
4\cdot(-3)=-12,
logo
f'(x)=-12(6x-2)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}.
Fatorando 2 em (6x-2) para simplificar mais:
6x-2=2(3x-1),
então
f'(x)=-12\cdot2(3x-1)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}=-24(3x-1)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}.
Finalmente, reescrevendo com fração em vez de expoente negativo:
f'(x)=-\frac{24(3x-1)}{\left(3x^{2}-2x+1\right)^{4}}.

Resposta

-\dfrac{24(3x-1)}{\left(3x^{2}-2x+1\right)^{4}}

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