Tangente horizontal: a inclinação \dfrac{dy}{dx}=0. Isso acontece quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Intuição: y não está mudando naquele instante, enquanto x está mudando — a reta é horizontal.
Tangente vertical: a inclinação \dfrac{dy}{dx} é “infinita” — na prática isso ocorre quando \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Intuição: x não está mudando (parada horizontal no eixo x), enquanto y muda — a reta é vertical.
Se \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 simultaneamente, a situação requer análise de ordens superiores (ponto singular/cúspide); nesse problema verificaremos se isso ocorre.
Passo 3
Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} explicitamente:
É conveniente escrever \sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, pois isso facilita as contas.
Verificar \dfrac{dy}{dt} nesses t:
\frac{dy}{dt}=3t(t+2).
Para t=\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}: t\neq0 e t+2>0, logo \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Para t=-\sqrt{\tfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}: t\neq0 e t+2>0 (pois -0{,}816+2>0), logo \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Portanto ambos os t produzem tangentes verticais.
Agora calcular as coordenadas para cada um (fazer contas diretas, sem calculadora, usando as potências de t):
Primeiro calcule t^{2}=\dfrac{2}{3} e t^{3}=t\cdot t^{2}=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9} (porque t=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3} e t^{2}=\dfrac{2}{3}, então t^{3}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9}).
Verificação final sobre pontos singulares: não houve valor de t em que \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 ao mesmo tempo (as soluções de \dfrac{dy}{dt}=0 foram t=0,-2, enquanto as de \dfrac{dx}{dt}=0 foram t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}; são distintos). Portanto não há cúspide por coincidência de derivadas primeiras neste problema.
Boa! Conseguiu seguir as contas — esses são os pontos onde a tangente fica perfeitamente horizontal ou vertical.