Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
x=t^{3}-2 t, \quad y=t^{3}+3 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada pelas funções
x(t)=t^{3}-2t,\qquad y(t)=t^{3}+3t^{2},
e pede: encontrar os pontos da curva onde a tangente é horizontal e os pontos onde a tangente é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está parametrizada por t.
  • É preciso achar pontos (x,y) na curva (isto é, valores de t e as coordenadas correspondentes) onde a tangente é horizontal ou vertical.

Passo 2

Conceitos e critério que vamos usar (breve aula prática):
  • Para uma curva parametrizada por x(t) e y(t), a inclinação da reta tangente no parâmetro t é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0.
  • Tangente horizontal: a inclinação \dfrac{dy}{dx}=0. Isso acontece quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq0.
    • Intuição: y não está mudando naquele instante, enquanto x está mudando — a reta é horizontal.
  • Tangente vertical: a inclinação \dfrac{dy}{dx} é “infinita” — na prática isso ocorre quando \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq0.
    • Intuição: x não está mudando (parada horizontal no eixo x), enquanto y muda — a reta é vertical.
  • Se \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 simultaneamente, a situação requer análise de ordens superiores (ponto singular/cúspide); nesse problema verificaremos se isso ocorre.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} explicitamente:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-2t\bigr)=3t^{2}-2,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}+3t^{2}\bigr)=3t^{2}+6t=3t(t+2).
Observação: usei a regra básica da derivada de potências ( \tfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}) e a linearidade da derivada.

Passo 4

Encontrar tangentes horizontais: resolver \dfrac{dy}{dt}=0 com \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Primeiro, \dfrac{dy}{dt}=3t(t+2)=0 dá as soluções
t=0 \quad\text{ou}\quad t=-2.
Agora verificar \dfrac{dx}{dt} nesses t:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=3\cdot0^{2}-2=-2\neq0,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=-2}=3\cdot(-2)^{2}-2=3\cdot4-2=12-2=10\neq0.
Como \dfrac{dx}{dt}\neq0 em ambos, ambos correspondem a tangentes horizontais.
Calcular as coordenadas (x,y) nesses parâmetros:
  • Para t=0:
x(0)=0^{3}-2\cdot0=0,\qquad y(0)=0^{3}+3\cdot0^{2}=0.
Portanto o ponto é (0,0).
  • Para t=-2:
x(-2)=(-2)^{3}-2(-2)=-8+4=-4,
y(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}=-8+3\cdot4=-8+12=4.
Portanto o ponto é (-4,4).

Passo 5

Encontrar tangentes verticais: resolver \dfrac{dx}{dt}=0 com \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Primeiro, \dfrac{dx}{dt}=3t^{2}-2=0 implica
t^{2}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
É conveniente escrever \sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, pois isso facilita as contas.
Verificar \dfrac{dy}{dt} nesses t:
\frac{dy}{dt}=3t(t+2).
  • Para t=\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}: t\neq0 e t+2>0, logo \dfrac{dy}{dt}\neq0.
  • Para t=-\sqrt{\tfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}: t\neq0 e t+2>0 (pois -0{,}816+2>0), logo \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Portanto ambos os t produzem tangentes verticais.
Agora calcular as coordenadas para cada um (fazer contas diretas, sem calculadora, usando as potências de t):
  • Primeiro calcule t^{2}=\dfrac{2}{3} e t^{3}=t\cdot t^{2}=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9} (porque t=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3} e t^{2}=\dfrac{2}{3}, então t^{3}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9}).
  • Para t=+\dfrac{\sqrt{6}}{3}:
x=t^{3}-2t=\frac{2\sqrt{6}}{9}-2\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} =\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{6\sqrt{6}}{9}=-\frac{4\sqrt{6}}{9},
y=t^{3}+3t^{2}=\frac{2\sqrt{6}}{9}+3\cdot\frac{2}{3} =\frac{2\sqrt{6}}{9}+2=2+\frac{2\sqrt{6}}{9}.
  • Para t=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}:
x=t^{3}-2t=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-2\cdot\biggl(-\frac{\sqrt{6}}{3}\biggr) =-\frac{2\sqrt{6}}{9}+\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{9},
y=t^{3}+3t^{2}=-\frac{2\sqrt{6}}{9}+3\cdot\frac{2}{3} =-\frac{2\sqrt{6}}{9}+2=2-\frac{2\sqrt{6}}{9}.

Passo 6

Verificação final sobre pontos singulares: não houve valor de t em que \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 ao mesmo tempo (as soluções de \dfrac{dy}{dt}=0 foram t=0,-2, enquanto as de \dfrac{dx}{dt}=0 foram t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}; são distintos). Portanto não há cúspide por coincidência de derivadas primeiras neste problema.
Boa! Conseguiu seguir as contas — esses são os pontos onde a tangente fica perfeitamente horizontal ou vertical.

Resposta

Horizontal: (0,0)
Horizontal: (-4,4)
Vertical: \displaystyle\Bigl(-\frac{4\sqrt{6}}{9},\,2+\frac{2\sqrt{6}}{9}\Bigr)
Vertical: \displaystyle\Bigl(\frac{4\sqrt{6}}{9},\,2-\frac{2\sqrt{6}}{9}\Bigr)

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