Encontre
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar $ \frac{dy}{dx} $ onde $ x = t \ln t $ e $ y = \sin^2 t $.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas paramétricas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que envolve encontrar $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $ e depois dividir uma pela outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{dx}{dt} $. Sabemos que:
Para derivar isso em relação a $ t $, usamos a regra do produto. A derivada de $ t $ é 1 e a derivada de $ \ln t $ é $ \frac{1}{t} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ \frac{dy}{dt} $. Temos:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de $ \sin t $ é $ \cos t $, então:
Isso pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando a seguinte relação:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Então, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ é: