Encontre d y / d x.
x=t ln t, y=sen^2 t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar $ \frac{dy}{dx} $ onde $ x = t \ln t $ e $ y = \sin^2 t $.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas paramétricas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que envolve encontrar $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $ e depois dividir uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ \frac{dx}{dt} $. Sabemos que:
dxdt
Para derivar isso em relação a $ t $, usamos a regra do produto. A derivada de $ t $ é 1 e a derivada de $ \ln t $ é $ \frac{1}{t} $. Então:
x = t ln t

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ \frac{dy}{dt} $. Temos:
dydt
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de $ \sin t $ é $ \cos t $, então:
y = sin^2 t
Isso pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica:
sin t
Então:
cos t

Passo 4

Agora que temos $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando a seguinte relação:
dydt
Substituindo os valores que encontramos:
dxdt

Resposta

Então, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ é:
dydx

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