Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente aos valores dados do parâmetro.
x=t^2+t, y=raizt ; t=4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva paramétrica definida por x = t² + t e y = √t no ponto t = 4. Vamos usar conteúdo de derivadas paramétricas para encontrar o coeficiente angular e depois montar a equação da reta.

Passo 2

Para curvas paramétricas, o coeficiente angular da reta tangente é dado por:
dydx = dydtdxdt
Primeiro calculamos as derivadas em função de t:

Passo 3

x = t^2+t implica dxdt = 2t+1.
y = raizt = t^1/2 implica dydt = 12t^-1/2 = 12raizt.

Passo 4

Em t = 4 temos:
x(4) = 4^2+4 = 20,
y(4) = raiz4 = 2,
dxdt|t=4 = 2cdot4+1 = 9,
m = 1/49 = 136
Logo o coeficiente angular é .

Passo 5

Usamos a forma-ponto da reta tangente: y - y0 = m(x - x0). Substituindo (x0,y0)=(20,2) e m=1/36 obtemos
y - 2 = 136(x - 20)

Passo 6

Podemos ainda passar para a forma explícita:
y = 136x + 139

Resposta

A equação da reta tangente é y - 2 = tfrac136(x - 20), ou seja y = tfrac136x + tfrac139.

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