Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente aos valores dados do parâmetro.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva paramétrica definida por x = t² + t e y = √t no ponto t = 4. Vamos usar conteúdo de derivadas paramétricas para encontrar o coeficiente angular e depois montar a equação da reta.
Passo 2
Para curvas paramétricas, o coeficiente angular da reta tangente é dado por:
Primeiro calculamos as derivadas em função de t:
Passo 3
implica . implica .
Passo 4
Em t = 4 temos: m = 1/49 = 136
Logo o coeficiente angular é .
Passo 5
Usamos a forma-ponto da reta tangente: y - y0 = m(x - x0). Substituindo (x0,y0)=(20,2) e m=1/36 obtemos
y - 2 = 136(x - 20)
Passo 6
Podemos ainda passar para a forma explícita:
y = 136x + 139
Resposta
A equação da reta tangente é y - 2 = tfrac136(x - 20), ou seja y = tfrac136x + tfrac139.