Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente aos valores dados do parâmetro.
x=2 sen theta, y=3 cos theta ; theta=pi / 4

Passo 1

A curva é dada por x = 2 sen θ e y = 3 cos θ. Queremos a reta tangente no ponto correspondente a θ = π/4. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas e depois a fórmula da reta em ponto-declive.

Passo 2

Calcular as derivadas em relação a θ usando as regras básicas de derivação:
x'(θ) = ddθ(2sin θ) = 2cos θ
y'(θ) = ddθ(3cos θ) = -3sin θ

Passo 3

Avaliar x, y, x’ e y’ em θ = π/4:
x0 = 2sinl(tfracπ4r) = 2cdottfracraiz22 = raiz2
y0 = 3cosl(tfracπ4r) = 3cdottfracraiz22 = tfrac3raiz22
x'l(tfracπ4r) = 2cosl(tfracπ4r) = raiz2
y'l(tfracπ4r) = -3sinl(tfracπ4r) = -tfrac3raiz22

Passo 4

O coeficiente angular da reta tangente é
m = dydx = y'x' = -tfrac3raiz22raiz2 = -tfrac32

Passo 5

Usar a forma ponto-declive y - y0 = m(x - x0) e substituir x0, y0, m:
y - tfrac3raiz22 = -tfrac32l(x - raiz2r)
Podemos também isolar y:
y = -tfrac32x + 3raiz2

Resposta

A equação da reta tangente é
y - tfrac3raiz22 = -tfrac32l(x - raiz2r)
ou, equivalente,
y = -tfrac32x + 3raiz2.

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