Encontre d y / d x.
y=\frac{a}{1+b e^{-x}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{a}{1+b e^{-x}} e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • \;a e \;b são constantes (não dependem de x).
  • A variável independente é x e a dependente é y.
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} em função de x, a e b.

Passo 2

Escolha do método: há duas formas naturais de derivar essa função:
  • Usar a regra do quociente diretamente em \dfrac{a}{1+b e^{-x}}.
  • Reescrever como uma potência e usar a regra da cadeia (mais simples aqui).
Vou usar a regra da cadeia porque fica mais curto e há menos chances de errar sinais. Lembrete das fórmulas que vou usar:
  • Regra da cadeia (forma prática): se y=f(u(x)), então \dfrac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).
  • Regra da potência: se f(u)=u^{n} com n constante, então f'(u)=n u^{n-1}.
  • Derivada do exponencial: se u(x)=-x então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x). Em particular, \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 3

Reescrevendo a função em forma de potência:
y = a\,(1+b e^{-x})^{-1}.
Defina a função interna \;u(x)=1+b e^{-x}. Então \;y=a\,u(x)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia e a regra da potência:
\frac{dy}{dx}=a\cdot\frac{d}{dx}\bigl(u^{-1}\bigr) = a\cdot(-1)\,u^{-2}\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calcule u'(x). Como \;u(x)=1+b e^{-x},
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)+b\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =0+b\cdot(-e^{-x}) =-b e^{-x}.
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 5

Substituindo u'(x)=-b e^{-x} na expressão para \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=a\cdot(-1)\,u^{-2}\cdot(-b e^{-x}) = a b e^{-x}\,u^{-2}.
Voltando à variável x com u=1+b e^{-x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=a b e^{-x}\,(1+b e^{-x})^{-2}.

Passo 6

Escrevendo a resposta em forma de fração mais usual:
\frac{dy}{dx}=\frac{a b e^{-x}}{\bigl(1+b e^{-x}\bigr)^{2}}.

Resposta

\dfrac{a b e^{-x}}{\bigl(1+b e^{-x}\bigr)^{2}}

Exercícios relacionados