Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
-
e são constantes (não dependem de ). - A variável independente é
e a dependente é . - Pedido: calcular a derivada
em função de , e .
Passo 2
Escolha do método: há duas formas naturais de derivar essa função:
- Usar a regra do quociente diretamente em
. - Reescrever como uma potência e usar a regra da cadeia (mais simples aqui).
Vou usar a regra da cadeia porque fica mais curto e há menos chances de errar sinais. Lembrete das fórmulas que vou usar:
- Regra da cadeia (forma prática): se
, então . - Regra da potência: se
com constante, então . - Derivada do exponencial: se
então . Em particular, .
Passo 3
Reescrevendo a função em forma de potência:
Defina a função interna
. Então
.
Aplicando a regra da cadeia e a regra da potência:
Passo 4
Agora calcule
. Como
,
Aqui usei que
.
Passo 5
Substituindo
na expressão para
:
Voltando à variável
com
, obtemos
Passo 6
Escrevendo a resposta em forma de fração mais usual: