Encontre d y / d x.
y=2 x e^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=2x e^{\sqrt{x}} e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações importantes que temos:
  • A função é produto de duas funções de x: uma parte polinomial 2x e uma parte exponencial e^{\sqrt{x}}.
  • A expressão \sqrt{x} exige x\ge 0 (na prática, a derivada envolvendo \sqrt{x} será tratada para x>0).

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que formam o produto e lembrar a regra que vamos usar. Defina
u(x)=2x,\qquad v(x)=e^{\sqrt{x}}.
A regra do produto diz que, para y=u(x)v(x),
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+u v'.
Isto significa: derivar a primeira e multiplicar pela segunda, depois somar a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Calcular u'(x). Como u(x)=2x, a derivada de x é 1 e a constante 2 permanece multiplicando:
u'(x)=2.
Explicando: a regra básica é \dfrac{d}{dx}(ax)=a para constante a.

Passo 4

Calcular v'(x). Temos v(x)=e^{\sqrt{x}}. Aqui usamos a regra da cadeia: se v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Usando a regra da potência,
g'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
v'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Obs.: esse passo usa duas regras básicas — a cadeia (derivada de composta) e a potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}).

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos:
\frac{dy}{dx}=u'v+u v' = 2\cdot e^{\sqrt{x}} + 2x\cdot\Big(e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\Big).
Agora simplificamos o segundo termo: dentro dele há um fator 2 e um fator \tfrac{1}{2} que se cancelam, e sobra
2x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}.
Logo
\frac{dy}{dx}=2e^{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\;e^{\sqrt{x}}.

Passo 6

Fatorando e^{\sqrt{x}} para deixar a resposta mais elegante:
\frac{dy}{dx}=e^{\sqrt{x}}\big(2+\sqrt{x}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{\sqrt{x}}\big(2+\sqrt{x}\big)

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