Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se encontre
. Informações fornecidas:
- A constante
é a constante usual (não depende de ). -
é a função arco-tangente (inversa da tangente). - O argumento da arco-tangente é
.
Passo 2
Regra que vamos usar (aqui explico e mostro por que vale): a derivada da função inversa
pode ser obtida por diferenciação implícita. Seja
Então por definição inversa temos
Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia do lado direito),
Isolando
,
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, obtemos
Aqui
e
é a função que está dentro da
.
Passo 3
Também precisamos da regra do fator constante: se
com
constante, então
E da regra da cadeia: a derivada de uma composição
é
. Já usamos isso implicitamente na dedução da derivada da
.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: identifique a parte interna e a constante multiplicativa.
- A constante
é . - A função interna é
, portanto
Passo 5
Usando a fórmula da derivada de
,
Multiplicando pelo fator constante
,