Encontre d y / d x.
y=\frac{1}{\pi} \operatorname{arctg} 2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{1}{\pi}\operatorname{arctg}2x
e pede que se encontre \dfrac{dy}{dx}. Informações fornecidas:
  • A constante \pi é a constante usual (não depende de x).
  • \operatorname{arctg} é a função arco-tangente (inversa da tangente).
  • O argumento da arco-tangente é 2x.

Passo 2

Regra que vamos usar (aqui explico e mostro por que vale): a derivada da função inversa \operatorname{arctg}u(x) pode ser obtida por diferenciação implícita. Seja
w=\operatorname{arctg}u(x).
Então por definição inversa temos
u(x)=\tan w.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da cadeia do lado direito),
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^2 w\cdot\frac{dw}{dx}.
Isolando \dfrac{dw}{dx},
\frac{dw}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}}{\operatorname{sec}^2 w}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2 w=1+\tan^2 w e lembrando que \tan w=u, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}.
Aqui u'(x)=\dfrac{du}{dx} e u(x) é a função que está dentro da \operatorname{arctg}.

Passo 3

Também precisamos da regra do fator constante: se y=C\cdot f(x) com C constante, então
\frac{dy}{dx}=C\cdot f'(x).
E da regra da cadeia: a derivada de uma composição f(g(x)) é f'(g(x))\cdot g'(x). Já usamos isso implicitamente na dedução da derivada da \operatorname{arctg}.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: identifique a parte interna e a constante multiplicativa.
  • A constante C é \dfrac{1}{\pi}.
  • A função interna é u(x)=2x, portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 5

Usando a fórmula da derivada de \operatorname{arctg}u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}=\frac{2}{1+(2x)^2}=\frac{2}{1+4x^2}.
Multiplicando pelo fator constante \dfrac{1}{\pi},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+4x^2}=\frac{2}{\pi\,(1+4x^2)}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{\pi\,(1+4x^{2})}

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