Encontre d y / d x.
y=\ln \left(\frac{1+e^{x}+e^{2 x}}{1-e^{3 x}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dada a função y=\ln\!\left(\frac{1+e^{x}+e^{2x}}{1-e^{3x}}\right).
  • A pergunta é: encontrar \dfrac{d y}{d x} (a derivada de y em relação a x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador da fração dentro do log: 1+e^{x}+e^{2x}.
  • Denominador da fração dentro do log: 1-e^{3x}.

Passo 2

Plano e fórmulas que vou usar (explicadinho, passo a passo):
  • Regra do logaritmo do quociente: \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A - \ln B. Isso simplifica derivação porque transforma uma única função logarítmica em duas mais simples.
  • Derivada da função logarítmica (regra da cadeia): se y=\ln(u(x)), então \frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função dentro do log e u'(x) é a derivada de u em relação a x. Essa regra vem da composição: derivada de \ln é 1/u vezes a derivada interna u'.
  • Derivada de e^{k x} (com k constante) é \dfrac{d}{dx}e^{k x}=k e^{k x}.
Vou aplicar essas regras com calma e mostrar cada conta.

Passo 3

Aplicar a propriedade do log do quociente para separar a função em duas partes mais fáceis:
y=\ln\!\left(1+e^{x}+e^{2x}\right)-\ln\!\left(1-e^{3x}\right).
Não é resolução ainda, só reescrever para facilitar a derivada.

Passo 4

Derivar a primeira parte \ln\!\left(1+e^{x}+e^{2x}\right):
  • Defino u(x)=1+e^{x}+e^{2x}.
  • Calculo u'(x): u'(x)=\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right).Sabendo que \dfrac{d}{dx}1=0, \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, temos u'(x)=e^{x}+2e^{2x}.
  • Pela regra da derivada do logaritmo: \frac{d}{dx}\ln\!\left(1+e^{x}+e^{2x}\right)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{e^{x}+2e^{2x}}{1+e^{x}+e^{2x}}.

Passo 5

Derivar a segunda parte -\ln\!\left(1-e^{3x}\right):
  • Defino v(x)=1-e^{3x}.
  • Calculo v'(x): v'(x)=\frac{d}{dx}\left(1\right)-\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\right)=0-3e^{3x}=-3e^{3x}.
  • A derivada de -\ln(v(x)) é -\dfrac{v'(x)}{v(x)}. Substituindo, \frac{d}{dx}\left[-\ln\!\left(1-e^{3x}\right)\right] = -\frac{-3e^{3x}}{1-e^{3x}}=\frac{3e^{3x}}{1-e^{3x}}.

Passo 6

Juntar as duas derivadas (somando os resultados dos Passos 4 e 5):
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}+2e^{2x}}{1+e^{x}+e^{2x}}+\frac{3e^{3x}}{1-e^{3x}}.
Agora vou simplificar essa expressão para uma forma mais compacta e elegante. Para facilitar a álgebra, faça a substituição temporária \displaystyle t=e^{x} (observação: t>0).
  • Em termos de t a derivada fica \frac{dy}{dx}=\frac{t+2t^{2}}{1+t+t^{2}}+\frac{3t^{3}}{1-t^{3}}.
  • Note a fatoração \,1-t^{3}=(1-t)(1+t+t^{2}). Isso sugere trazer ambos os termos para o denominador comum 1-t^{3}.
  • Multiplico o primeiro termo por \dfrac{1-t}{1-t} (que equivale a 1) para ter o mesmo denominador: \frac{t+2t^{2}}{1+t+t^{2}}=\frac{(t+2t^{2})(1-t)}{(1+t+t^{2})(1-t)}=\frac{(t+2t^{2})(1-t)}{1-t^{3}}.
  • Expandindo o numerador do primeiro termo: (t+2t^{2})(1-t)=t(1+2t)(1-t)=t\bigl(1+2t - t - 2t^{2}\bigr)=t\bigl(1+t-2t^{2}\bigr)=t+t^{2}-2t^{3}.
  • Somando o segundo termo (ja com denominador 1-t^{3}): \frac{t+t^{2}-2t^{3}}{1-t^{3}}+\frac{3t^{3}}{1-t^{3}}=\frac{t+t^{2}-2t^{3}+3t^{3}}{1-t^{3}}=\frac{t+t^{2}+t^{3}}{1-t^{3}}.
  • Factorizando o numerador: \frac{t+t^{2}+t^{3}}{1-t^{3}}=\frac{t(1+t+t^{2})}{1-t^{3}}.
  • Voltando à variável original \,t=e^{x}: \frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}\bigl(1+e^{x}+e^{2x}\bigr)}{1-e^{3x}}.
Essa última forma é mais compacta e bonita — mostra um fator e^{x} multiplicando 1+e^{x}+e^{2x}, tudo sobre 1-e^{3x}.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{e^{x}\left(1+e^{x}+e^{2x}\right)}{1-e^{3x}}

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