Encontre
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi dada a função
- A pergunta é: encontrar
(a derivada de em relação a ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador da fração dentro do log:
. - Denominador da fração dentro do log:
.
Passo 2
Plano e fórmulas que vou usar (explicadinho, passo a passo):
- Regra do logaritmo do quociente:
. Isso simplifica derivação porque transforma uma única função logarítmica em duas mais simples. - Derivada da função logarítmica (regra da cadeia): se
, então
Aqui
é a função dentro do log e
é a derivada de
em relação a
. Essa regra vem da composição: derivada de
é
vezes a derivada interna
.
- Derivada de
(com constante) é .
Vou aplicar essas regras com calma e mostrar cada conta.
Passo 3
Aplicar a propriedade do log do quociente para separar a função em duas partes mais fáceis:
Não é resolução ainda, só reescrever para facilitar a derivada.
Passo 4
Derivar a primeira parte
:
- Defino
. - Calculo
: Sabendo que , e , temos - Pela regra da derivada do logaritmo:
Passo 5
Derivar a segunda parte
:
- Defino
. - Calculo
: - A derivada de
é . Substituindo,
Passo 6
Juntar as duas derivadas (somando os resultados dos Passos 4 e 5):
Agora vou simplificar essa expressão para uma forma mais compacta e elegante. Para facilitar a álgebra, faça a substituição temporária
(observação:
).
- Em termos de
a derivada fica - Note a fatoração
. Isso sugere trazer ambos os termos para o denominador comum . - Multiplico o primeiro termo por
(que equivale a 1) para ter o mesmo denominador: - Expandindo o numerador do primeiro termo:
- Somando o segundo termo (ja com denominador
): - Factorizando o numerador:
- Voltando à variável original
:
Essa última forma é mais compacta e bonita — mostra um fator
multiplicando
, tudo sobre
.