Encontre d y / d x.
y=e^{\ln \left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{\ln\!\left(x^{2}+1\right)}
e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A função está escrita como composição de exponencial e logaritmo natural.
  • O argumento do logaritmo é x^{2}+1, que é estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R} (pois x^{2}\ge0\Rightarrow x^{2}+1>0).
  • A pergunta é: calcular \dfrac{d y}{d x} em termos de x.

Passo 2

Observação simples (identidade de funções inversas). Explicar por que se pode simplificar a expressão antes de derivar.
A função exponencial e^{t} e o logaritmo natural \ln(t) são funções inversas: para todo t>0 vale e^{\ln t}=t e \ln(e^{t})=t. Aqui o argumento do \ln é x^{2}+1 e, como já observado, x^{2}+1>0 para todo x. Portanto pode-se usar a identidade inversa e simplificar:
y = e^{\ln\!\left(x^{2}+1\right)} = x^{2}+1.
Comentário didático: isso é seguro porque o domínio do \ln exige argumento positivo; para x real esse requisito é satisfeito, então a simplificação é válida.

Passo 3

Derivar a forma simplificada. Aplicar regras básicas de derivação (regra do poder e derivada de constante).
Regra do poder (para inteiro ou real n): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. A derivada de uma constante é zero. Assim, para y=x^{2}+1,
\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}\!\left(x^{2}\right) + \frac{d}{d x}\!(1) = 2x + 0 = 2x.
Explicando passo a passo: ao derivar x^{2} aplica-se a regra do poder com n=2, dando 2x. A constante 1 desaparece na derivada.

Passo 4

Verificação alternativa (sem simplificar antes): derivar diretamente a composição original usando regra da cadeia e a derivada do \ln.
Seja u(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right). Então y=e^{u(x)}. Pela regra da cadeia a derivada é
\frac{d y}{d x} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Agora u'(x) é derivada do logaritmo composto: para u(x)=\ln(v(x)) vale u'(x)=\dfrac{v'(x)}{v(x)}. Aqui v(x)=x^{2}+1 e v'(x)=2x. Logo
u'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Substituindo em \dfrac{d y}{d x},
\frac{d y}{d x}=e^{\ln\!\left(x^{2}+1\right)}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.
Usando a identidade e^{\ln\!\left(x^{2}+1\right)}=x^{2}+1 (válida porque x^{2}+1>0), obtemos
\frac{d y}{d x}=(x^{2}+1)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=2x.
Ou seja, o mesmo resultado: \dfrac{d y}{d x}=2x.

Passo 5

Observação final e encorajamento:
  • A derivada existe para todo x\in\mathbb{R} e é \;2x.
  • Resumindo: às vezes simplificar a expressão antes de derivar (quando possível) torna tudo mais rápido. Boa prática na prova: cheque domínio e use identidades de inversas quando for seguro.

Resposta

2x

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