Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função está escrita como composição de exponencial e logaritmo natural.
- O argumento do logaritmo é
, que é estritamente positivo para todo (pois ). - A pergunta é: calcular
em termos de .
Passo 2
Observação simples (identidade de funções inversas). Explicar por que se pode simplificar a expressão antes de derivar.
A função exponencial
e o logaritmo natural
são funções inversas: para todo
vale
e
. Aqui o argumento do
é
e, como já observado,
para todo
. Portanto pode-se usar a identidade inversa e simplificar:
Comentário didático: isso é seguro porque o domínio do
exige argumento positivo; para
real esse requisito é satisfeito, então a simplificação é válida.
Passo 3
Derivar a forma simplificada. Aplicar regras básicas de derivação (regra do poder e derivada de constante).
Regra do poder (para inteiro ou real
): a derivada de
é
. A derivada de uma constante é zero. Assim, para
,
Explicando passo a passo: ao derivar
aplica-se a regra do poder com
, dando
. A constante
desaparece na derivada.
Passo 4
Verificação alternativa (sem simplificar antes): derivar diretamente a composição original usando regra da cadeia e a derivada do
.
Seja
. Então
. Pela regra da cadeia a derivada é
Agora
é derivada do logaritmo composto: para
vale
. Aqui
e
. Logo
Substituindo em
,
Usando a identidade
(válida porque
), obtemos
Ou seja, o mesmo resultado:
.
Passo 5
Observação final e encorajamento:
- A derivada existe para todo
e é . - Resumindo: às vezes simplificar a expressão antes de derivar (quando possível) torna tudo mais rápido. Boa prática na prova: cheque domínio e use identidades de inversas quando for seguro.